第一节 拱桥的特点

第一节 拱轴线方程和悬链线无铰拱弹性中心

一、圆弧线拱拱轴线方程

[A3-4.6] 圆弧线拱的拱轴线对应于同一深度静水压力下的压力线，具有线形简单，全拱曲率相同，施工方便等特点。拱轴方程为（图3-4-1）

$$\begin{array}{l}\mathrm{y}_1= R(1-\cos \varphi )\\ x=Rsin\varphi \\ R=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{4f/l}+\dfrac{f}{l}) \end{array} \tag{3-4-1}$$

图3-4-1 圆弧形拱轴线

任一截面拱轴切线的水平倾角$\phi$为

$$ \varphi =\mathrm{arc}\sin(\dfrac{x}{R})\tag{3-4-2}$$

二、抛物线拱拱轴线方程

[A3-4.7]抛物线拱轴线大多采用二次抛物线，拱轴方程为（图3-4-2）

$$\mathrm{y}_1=\dfrac{4f}{l^2}x^2 \tag{3-4-3}$$

图3-4-2 抛物线拱轴线

二次抛物线拱任一截面拱轴切线的水平倾角$\phi$为

$$\varphi =\mathrm{arc}\tan(\dfrac{dy_1}{dx}) =\mathrm{arc}\tan(\dfrac{8f}{l^2}x) \tag{3-4-4}$$

三、悬链线拱拱轴线方程

[A3-4.8]1. 拱轴线方程建立

设实腹式拱的恒载包括拱圈、拱上填料和桥面层自重力[图3-4-3a）]的分布规律如图3-4-3b）所示。取图3-4-3所示坐标系，设拱轴线即为恒载压力线，故在恒载作用下拱顶截面的弯矩M_d=0、剪力V_d=0，于是，拱顶截面仅作用恒载恒载水平推力H_g。现对拱脚截面取矩，则有：

$$H_{\mathrm{g}}=\dfrac{\sum M_{\mathrm{j}}}{f}\tag{3-4-5}$$

式中：	Hg	——	拱的恒载水平推力（不考虑弹性压缩）；
	ΣMj	——	半拱恒载对拱脚截面的弯矩；
	f	——	拱的计算矢高。

图3-4-3 实腹式悬链线拱轴计算图式

对任意截面取矩，可得：

$$\mathrm{y}_1=\dfrac{M_{\mathrm{x}}}{H_{\mathrm{g}}}\tag{3-4-6}$$

式中：	Mx	——	任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值；
	y1	——	以拱顶为坐标原点，拱轴上任意点的坐标。

式（3-4-6）为求算恒载压力线的基本方程。将上式两边对 求导两次得：

$$\dfrac{d^2 \mathrm{y}_1}{dx^2}=\dfrac{1}{H_{\mathrm{g}}}\cdot \dfrac{d^2 M_{\mathrm{x}}}{dx^2}=\dfrac{g_{\mathrm{x}}}{H_{\mathrm{g}}}\tag{3-4-7}$$

式（3-4-7）为求算恒载压力线的基本微分方程式。为了得到拱轴线（即恒载压力线）的一般方程，必须知道恒载的分布规律。由图3-4-3b），任意点的恒载集度g_x可用下式表示：

$$g_{\mathrm{x}}=g_{\mathrm{d}}+\gamma \mathrm{y}_1\tag{3-4-8}$$

式中：	gd	——	拱顶处恒载集度；
	γ	——	拱上材料单位体积重量。

由式（3-4-8）得：

$$g_{\mathrm{j}}=g_{\mathrm{d}}+\gamma f=m g_{\mathrm{d}}\tag{3-4-9}$$

则

$$ \hspace{3cm} m=\dfrac{g_{\mathrm{j}}}{g_{\mathrm{d}}}\tag{3-4-10}$$

式中：	gj	——	拱脚处恒载集度；
	m	——	拱轴系数（或称拱轴曲线系数），为拱脚与拱顶的荷载集度比，是悬链线拱轴桥特有的重要设计参数。

由式（3-4-9）得：

$$ \gamma=(m-1)\dfrac{g_{\mathrm{d}}}{f} \tag{3-4-11}$$

将式（3-4-11）代入式（3-4-8）可得：

$${g_{\mathrm{x}}}={g_{\mathrm{d}}}+(m-1)\dfrac{g_{\mathrm{d}}}{f}{\mathrm{y}}_1=g_{\mathrm{d}}[1+(m-1)\dfrac{\mathrm{y}_1}{f}]\tag{3-4-12}$$

再将式（3-4-12）代入基本微分方程（3-4-7）。

为使最终结果简单，引入参数：x=ξl₁，则dx= l₁dξ。

可得：

$$\dfrac{d^2 {\mathrm{y}}_1}{d \xi ^2}=\dfrac{l_1^2}{H_{\mathrm{g}}}g_{\mathrm{d}}[1+(m-1)\dfrac{{\mathrm{y}}_1}{f}] $$

令

$$ k^2=\dfrac{l_1^2 g_{\mathrm{d}}}{H_{\mathrm{g}}f}(m-1)\tag{3-4-13}$$

则：

$$ \dfrac{d^2 {\mathrm{y}}_1}{d\xi ^2}=\dfrac{l_1^2 g_{\mathrm{d}}}{H_{\mathrm{g}}}+k^2 {\mathrm{y}}_1 \tag{3-4-14}$$

式（3-4-14）为二阶非齐次常系数线性微分方程。解此方程，则得拱轴线方程为：

$$ {\mathrm{y}}_1=\dfrac{f}{m-1}(\mathrm{ch}k \xi -1) \tag{3-4-15}$$

式（3-4-15）称为悬链线方程。以拱脚截面ξ=1， y₁=f代入式（3-4-15）得：

$$\mathrm{ch}k=m$$

通常拱桥设计时可先假定m值，故m为已知值，则k值可由下式求得

$$ k=\mathrm{ch}^{-1}m=\mathrm{ln}(m+\sqrt{m^2 -1}) \tag{3-4-16}$$

当m=1时，则g_x=g_d，表示恒载是均布荷载。不难理解，在均布荷载作用下的压力线为二次抛物线，其方程为：y₁=fξ²。

由悬链线方程（3-4-15）可以看出，当拱的矢跨比确定后，拱轴线各点的纵坐标将取决于拱轴系数m。各种m值的拱轴线坐标可以直接由附录Ⅳ之附表Ⅳ-0-1“拱轴坐标y₁/f值表”查出，一般无须按式（3-4-15）计算。

[A3-4.9]2. 拱轴系数

（1）实腹式悬链线拱

由式（3-4-10），实腹式悬链线拱的拱轴系数$m={\displaystyle \frac{g_{\mathrm{j}}}{g_{\mathrm{d}}}}$

由图3-4-3知，拱顶处恒载集度为：

$$ g_{\mathrm{d}}=h_{\mathrm{d}}\gamma_{1}+\gamma d \tag{3-4-17}$$

在拱脚处h_j=h_d+h，则其恒载集度为：

$$ g_{\mathrm{j}}=h_{\mathrm{d}}\gamma_1+h\gamma_2+\dfrac{d}{\cos\varphi_{\mathrm{j}}}\gamma\tag{3-4-18}$$

式中：	hd	——	拱顶填料厚度，一般为0.30～0.50 m；
	d	——	拱圈厚度；
	γ	——	拱圈材料单位重；
	γ1	——	拱顶填料及路面的平均单位重；
	γ2	——	拱腹填料平均单位重；
	φj	——	拱脚处拱轴线的水平倾角。

$$ h=f+\dfrac{d}{2}-\dfrac{d}{2\cos\varphi_{\mathrm{j}}} \tag{3-4-19}$$

从式（3-4-17）和式（3-4-18）可以看出，除了φ_j为未知数外，其余均为已知数。由于φ_j为未知，故不能直接算出m值，需用逐次逼近法确定：即先根据跨径L和矢高f假定m值，由m和f/L 查附录Ⅳ之附表Ⅳ-0-11“悬链线拱各点倾角的正弦及余弦函数表”，得到拱脚处的cosφ_j值，代入式（3-4-18）求得g_j后，再连同 一起代入式（3-4-10）算得m^'值。然后与假定的m值相比较，如果计算得到的m^'值与假定的m值相符（误差在0.0025以内），则假定的m值即为真实值；如果两者不符，则应以计算得到的m^'值作为新的假定值（为了计算的方便，m值应按表3-4-1所列数值假定），重新进行计算，直至两者接近为止（误差在0.0025以内）。

表3-4-1 拱轴系数m与$\frac{y_{1/4}}{f}$的关系表

m	1.000	1.167	1.347	1.543	1.756	1.988	2.240	2.514	2.814	3.142	3.500	...	5.321
$\frac{y_{1/4}}{f}$	0.250	0.245	0.240	0.235	0.230	0.225	0.220	0.215	0.210	0.205	0.200	...	0.180

当拱的跨径和矢高确定之后，悬链线的形状取决于拱轴系数 ，线形特性可用l/4点纵坐标y_l/4的大小表示（图3-4-4）。

图3-4-4 拱跨l/4点纵坐标与的关系

拱跨l/4点的纵坐标y_1/4与m有下述关系：

当$\xi ={\displaystyle \frac{1}{2}}$时，y₁=y_1/4，代入式（3-4-15）得：

$$\dfrac{{\mathrm{y}}_{1/4}}{f}=\dfrac{1}{m-1}({\mathrm{ch}\dfrac{k}{2}-1})\tag{3-4-20}$$

$$\because \mathrm{ch}\dfrac{k}{2}=\sqrt{\dfrac{\mathrm{ch}k+1}{2}}=\sqrt{\dfrac{m+1}{2}}$$

$$\therefore\dfrac{{\mathrm{y}}_{1/4}}{f}=\dfrac{\sqrt{\dfrac{m+1}{2}}-1}{m-1}=\dfrac{1}{\sqrt{2(m+1)}+2}\tag{3-4-21}$$

由式（3-4-21）可见， y_1/4随m的增大而减小，随m的减小而增大。当m增大时，拱轴线抬高；反之，当m减小时，拱轴线降低（图3-4-4）。在实腹式悬链线拱桥中，恒载从拱顶向拱脚逐渐增加，g_j＞ g_d，因而 ＞1。只有在均布荷载作用下，g_j=g_d时，方能出现m=1的情况。由式（3-4-21）可得， y_1/4=0.25f（图3-4-4）。${\displaystyle \frac{y_{1/4}}{f}}$与m的对应关系见表3-4-1，读者可根据计算的方便，利用m值或者${\displaystyle \frac{y_{1/4}}{f}}$的数值查表，结果是一致的。

（2）空腹式悬链线拱

在空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载由两部分组成：一部分为主拱圈与实腹段自重的分布荷载；另一部分为空腹部分通过腹孔墩（柱）传下的集中力[图3-4-5a）]。由于集中力的存在，拱的恒载压力线不再是一条悬链线，而是一条在集中力作用下有转折点的曲线。在设计空腹式拱桥时，由于悬链线拱的受力情况较好，又有完整的计算表格可供利用，因此也可采用悬链线作为拱轴线。为使悬链线拱轴与其恒载压力线接近，一般采用“五点重合法”确定悬链线拱轴的拱轴系数m值，即要求拱轴线在全拱有五点（拱顶、两个 l/4点和两个拱脚）与其相应的三铰拱恒载压力线重合，如图3-4-5b）所示。
欲达此目的，可以根据上述五点弯矩为零的条件来确定m值。
由三铰拱拱顶弯矩为零及恒载的对称条件知，拱顶仅有通过截面重心的恒载推力H_g，弯矩和剪力均为零。

图3-4-5 空腹式悬链线拱轴计算图式

由ΣM_A=0得

$$H_{\mathrm{g}}=\dfrac{\sum M_{\mathrm{j}}}{ f} \tag{3-4-22}$$

由ΣM_B=0得

$$H_{\mathrm{g}}{\mathrm{y}}_{\mathrm{l/4}}-\sum M_{\mathrm{l/4}}=0$$

$$H_{\mathrm{g}}=\dfrac{\sum M_{\mathrm{l/4}}}{ {\mathrm{y}}_{\mathrm{l/4}} \tag{3-4-23}$$

由式（3-4-22）、（3-4-23）可得

$$\dfrac{{\mathrm{y}}_{\mathrm{l/4}}}{{\mathrm{y}}}=\dfrac{{\sum M_{\mathrm{l/4}}}}{\sum M_{\mathrm{j}}} \tag{3-4-24}$$

式中：ΣM_1/4——自拱顶至拱跨 l/4点的恒载对 l/4截面的力矩。

求得${\displaystyle \frac{y_{1/4}}{f}}$之后，可由式（3-4-21）反求m，即

$$ m=\dfrac{1}{2}(\dfrac{f}{{\mathrm{y}}_{\mathrm{l/4}}}-2)^2-1\tag{3-4-25}$$

空腹式拱桥的m值，仍按逐次逼近法确定：先假定一个m值，定出拱轴线，作图布置拱上建筑，然后计算拱圈和拱上建筑的恒载对 l/4截面和拱脚截面的力矩ΣM_1/4、ΣM_j ，利用式（3-4-24）和（3-4-25）算出m^'值。如与假定的m^'值不符，则应以求得的m^'值作为新的假定值，重新计算，直至两者接近为止。

需要指出的是，用上述方法确定空腹式拱的拱轴线，仅与其相应的三铰拱恒载压力线保持五点重合，其他截面处的拱轴线与三铰拱恒载压力线都有不同程度的偏离。大量计算证明，从拱顶到 l/4截面点，一般压力线在拱轴线之上，而从 l/44截面点到拱脚，压力线则大多数在拱轴线之下，拱轴线与相应三铰拱恒载压力线的偏离类似于一个正弦波[图3-4-5b）]。这种偏离会在无铰拱中产生附加内力。对于静定三铰拱，各截面的偏离弯矩值M_p可以三铰拱压力线与拱轴线在该截面的偏离值Δy表示（M_P=H_G·Δy）；对于无铰拱，偏离弯矩的大小，不能以三铰拱压力线与拱轴线的偏离值Δy表示，而应以该偏离弯矩值M_P作为荷载，算出M_P 作用于无铰拱所产生的附加偏离弯矩值ΔM。

由结构力学可知，荷载作用在基本结构上引起弹性中心的赘余力为[图3-4-5c）]：

$$ \Delta X_1==\dfrac{\Delta_{\mathrm{1p}}}{\delta_{11}}=\dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{M_1}M_{\mathrm{p}}}{EI}ds}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{M_1}^2}{EI}ds}=-\dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{M_{\mathrm{p}}}{I}ds}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{ds}{I}}=-H_{\mathrm{g}} \dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\Delta {\mathrm{y}}}{I}ds}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{ds}{I}} \tag{3-4-26}$$

$$ \therefore \Delta X_2=\dfrac{\Delta_{\mathrm{2p}}}{\delta_{22}}=\dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{M_2}M_{\mathrm{p}}}{EI}ds}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{M_2}^2}{EI}ds}=-H_{\mathrm{g}} \dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{{\mathrm{y}}\Delta {\mathrm{y}}}{I}ds}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{{\mathrm{y}}^2}{I}ds}\tag{3-4-27}$$

式中：	$M_{\mathrm{P}}$	——	三铰拱恒载压力线偏离拱轴线所产生的弯矩，$M_{\mathrm{P}}=H_{\mathrm{g}}\cdot \mathrm{\Delta }y;{\overline{M}}_1=1;{\overline{M}}_2=-y;$
	$\mathrm{\Delta }y$	——	三铰拱恒载压力线与拱轴线的偏离值[图3-4-5b）]。

由图3-4-5b）可见， Δy有正有负，沿全拱积分${\int }_{\mathrm{s}}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{I}}ds$的数值不大，由式（3-4-26）知，ΔX₁数值较小，若${\int }_{\mathrm{s}}{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }y}{I}}\mathrm{ds=0}$，则ΔX₁=0。

大量计算证明，由式（3-4-27）决定的ΔX₂恒为正值（压力）。

无铰拱任意截面的偏离弯矩值ΔM为：

$$\Delta M=\Delta X_1 -\Delta X_2 {\mathrm{y}}+M_{\mathrm{p}} \tag{3-4-28}$$

式中： y——以弹性中心为原点（向上为正）的拱轴纵坐标。

对于拱顶、拱脚截面，M_p=0，偏离弯矩为：

$$ \begin{array}{l}\Delta M_{\mathrm{d}}=\Delta X_1 -\Delta X_2 {\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}<0\\ \Delta M_{\mathrm{j}}=\Delta X_1 +\Delta X_2(f-{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}})>0 \end{array} \tag{3-4-29}$$

式中： y_x——弹性中心至拱顶之距离。

空腹式无铰拱桥采用“五点重合法”确定的拱轴线，与相应三铰拱的恒载压力线在拱顶截面、两 l/4截面和两拱脚截面五点重合，而与无铰拱的恒载压力线实际上并不存在五点重合的关系。由式（3-4-29）可见，由于拱轴线与恒载压力线存在偏离，在拱顶、拱脚都产生了偏离弯矩。研究证明，拱顶的偏离弯矩ΔM_d为负，拱脚的偏离弯矩ΔM_j为正，恰好与这两截面控制弯矩的符号相反，这对拱顶、拱脚截面的受力是有利的。因此，在空腹式拱桥设计中，用“五点重合法”确定的悬链线拱轴，比用恒载压力线更加合理。

[A3-4.10]3. 拱轴线水平倾角φ

将悬链线方程$y_1={\displaystyle \frac{f}{m-1}}(\mathrm{c}\mathrm{h}j\xi -1)$对ξ求导数得：

$$ \dfrac{d{\mathrm{y}}_1}{d\xi}=\dfrac{fk}{m-1}\mathrm{sh}k\xi\tag{3-4-30}$$

$$\because \mathrm{tg}\varphi=\dfrac{d{\mathrm{y}}_1}{dx}=\dfrac{d{\mathrm{y}}_1}{l_1 d\xi}\dfrac{2d{\mathrm{y}}_1}{ld\xi}$$

以式（3-4-30）代入上式得：

$$ \mathrm{tg}\varphi=\dfrac{2fk\cdot\mathrm{sh}k\xi}{l(m-1)}=\eta\mathrm{sh}k\xi\tag{3-4-31}$$

式中：$\eta ={\displaystyle \frac{2kf}{l(m-1)}}$，其余符号意义同前。

由式（3-4-31）可见，拱轴水平倾角与拱轴系数m有关。拱轴线上各点的水平倾角tgφ可查附录Ⅳ，附表Ⅳ-0-2“拱轴斜度tgφ值表”。

四、悬链线无铰拱的弹性中心

[A3-4.11]由于无铰拱是一超静定结构，在计算内力（恒载、活载、温度变化、混凝土收缩徐变和拱脚变位等）时，计算工作量复杂、不便于手算求解，因此在设计中为了简化计算工作，常采用结构力学中“拱的弹性中心法”进行计算，将超静定结构的计算问题转化为静定结构的计算问题。弹性中心的确定方法详见结构力学中的相关内容。当拱左右对称时，弹性中心在对称轴上，基本结构的取法有两种：以悬臂曲梁为基本结构，如图3-4-6a）所示，可用于恒载、温度变化、混凝土收缩徐变和拱脚变位的计算；也可取简支曲梁为基本结构，如图3-4-6b）所示，可用于活载的计算。在计算无铰拱的内力影响线时，为使积分连续，便于制表，采用简支曲梁为基本结构。

图3-4-6 拱的弹性中心

由结构力学可知，弹性中心距拱顶之距离为：

$$\mathrm{y}_{\mathrm{s}}=\dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\mathrm{y}_1 ds}{EI}}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{ds}{EI}}\tag{3-4-32}$$

对悬链线无铰拱有

$$\mathrm{y}_1=\dfrac{f}{m-1}=(\mathrm{ch}k\xi-1)$$

$$ds=\dfrac{dx}{\cos\varphi}=\dfrac{l}{2}\dfrac{d\xi}{\cos\varphi}$$

其中

$$\cos\varphi=\dfrac{1}{\sqrt{1+\tan^2\varphi}}=\dfrac{1}{1+\eta^2\mathrm{sh}^2k\xi},\eta=\dfrac{2kf}{l(m-1)}$$

则

$$ds=\dfrac{1}{2}\sqrt{1+\eta^2\mathrm{sh}^2k\xi}d\xi\tag{3-4-33}$$

对等截面拱，EI为常数。则拱的弹性中心位置为

$$y_{\mathrm{s}}=\dfrac{\int_{\mathrm{s}}y_1 ds}{\int_{\mathrm{s}}ds}=\dfrac{f}{m-1}\dfrac{\int_0^1(\mathrm{ch}k\xi-1)\sqrt{1+\eta^2\mathrm{sh}^2k\xi}d\xi}{\int_0^1\sqrt{1+\eta^2\mathrm{sh}^2k\xi}d\xi}=a_1f$$

即

$$\mathrm{y}_{\mathrm{s}}=a_1 f\tag{3-4-34}$$

系数a₁可由m查附录Ⅳ，附表Ⅳ-0-3“弹性中心位置y_s/f值”。

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