第二节 拱圈内力计算

第二节 拱圈内力计算

一、恒载作用下拱圈内力计算

[A3-4.12]当采用恒载压力线作为拱轴线时，在不考虑拱圈弹性变形的影响时（即认为拱是刚体），拱圈各截面只有轴向力而无弯矩和剪力（即拱圈处于纯压状态）。事实上，拱圈材料有弹性，不可能是刚体，在恒载和活载产生的轴向压力作用下都会产生弹性变形，使拱轴长度缩短，由此会在无铰拱中产生弯矩和剪力，这就是所谓的弹性压缩。为便于计算，将恒载和活载内力均分为两部分，即不考虑弹性压缩影响的内力和计入弹性压缩引起的内力，然后将两者叠加起来。如果拱轴线对恒载压力线有偏离，还要计算拱轴偏离引起的内力。

[A3-4.13] 1. 不考虑弹性压缩影响

（1）实腹式拱
实腹式悬链线拱的拱轴线与恒载压力线完全吻合，所以在恒载作用下，主拱各截面上仅有轴向压力，此时，拱截面上的内力，可按纯压拱的公式计算。
恒载作用下的水平推力，由公式（3-4-13）推得：

$$H_{\mathrm{g}}=\dfrac{m-1}{4k^2}\cdot\dfrac{g_{\mathrm{d}}l^2}{f}=K_{\mathrm{g}}\cdot\dfrac{g_{\mathrm{d}}l^2}{f}\tag{3-4-35}$$

恒载作用下拱脚的竖向反力为半拱的恒载重力，即：

$$R_{\mathrm{g}}=\int_0^{l_1}g_{\mathrm{x}}dx=\int_0^1g_{\mathrm{x}}l_1d\xi$$

将式（3-4-12）、（3-4-15）代入上式并积分得：

$$R_{\mathrm{g}}=\dfrac{\sqrt{m^2-1}}{2[\mathrm{ln(m+\sqrt{m^2-1})}]}\cdot g_{\mathrm{d}}l=K_{\mathrm{g}}^{'}g_{\mathrm{d}}l\tag{3-4-36}$$

主拱圈各截面内力

$$\begin{array}{l} N=\dfrac{H_{\mathrm{g}}}{\cos\varphi}\\ M=0\\ V=0 \end{array}\tag{3-4-37}$$

系数k_g、k_g^'可由m或${\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}_{\frac{1}{4}}}{f}}$查附录Ⅳ，附表Ⅳ-0-4“不考虑弹性压缩时由于恒载产生的水平推力及垂直反力”。

cosφ由和主拱${\displaystyle \frac{f_0}{L_0}}$查附录Ⅳ，附表Ⅳ-0-11“悬链线拱各点倾角的正弦及余弦函数表”。

（2）空腹式拱
空腹式悬链线无铰拱，由于拱轴线与恒载压力线有偏离，拱顶、拱脚和l/4拱跨点都有恒载弯矩。在设计中，为方便计算，将空腹式无铰拱桥的恒载内力又分为两部分：①不考虑偏离的影响，将拱轴线视为与恒载压力线完全吻合；②考虑偏离的影响，按式（3-4-26）～式（3-4-28）计算由偏离引起的恒载内力。两者相加（①+②），即得空腹式无铰拱不考虑弹性压缩时的恒载内力。

不考虑拱轴偏离影响，拱的恒载推力H_g和拱脚竖向反力R_g，可直接由力的平衡条件求得：

$$\begin{array}{l} H_{\mathrm{g}}=\dfrac{\displaystyle\sum M_{\mathrm{g}}}{f}\\ R_{\mathrm{g}}=\displaystyle\sum P \end{array}\tag{3-4-38}$$

式中：	ΣMj	——	半跨恒载对拱脚的力矩；
	ΣP	——	半跨恒载重。

算出H_g之后，利用公式（3-4-37），即可求出主拱各截面的内力。

如上所述，拱轴线与恒载压力线偏离对主拱受力是有利的。在设计小跨径的空腹式拱桥时，可偏安全地不考虑偏离弯矩的影响。对大跨径拱桥，恒载偏离弯矩是一种可供利用的有利因素，此时，应当计入偏离弯矩的影响。计算恒载偏离弯矩时，除了计算偏离弯矩对拱顶、拱脚的有利影响之外，还应计入偏离弯矩对l/8和3l/8截面的不利影响，尤其是3l/8截面，其往往成为正弯矩的控制截面。

[A3-4.14] 2. 弹性压缩引起的内力
在恒载产生的轴向压力作用下，拱圈的弹性压缩引起拱轴沿跨径方向缩短△l ，为了平衡这一弹性压缩，就必须有一个作用于弹性中心而方向向外的水平力△H_g （图3-4-7）。

图3-4-7 弹性压缩引起的拱轴缩短

根据变形协调条件可得

$$\Delta H_{\mathrm{g}}\delta_{22}^{'}-\Delta l=0$$

$$\Delta H_{\mathrm{g}}=\dfrac{Delta l}{\delta_{22}^{'}}=H_{\mathrm{g}}\dfrac{\mu _1}{1+\mu}\tag{3-4-39}$$

Δl为由于恒载轴向压力作用引起的拱轴沿跨径方向压缩（即水平方向的变位），其值为

$$\Delta l=\int_0^{\mathrm{l}}\Delta dx=\int_{\mathrm{s}}\Delta ds\cos\varphi=\int_{\mathrm{s}}\dfrac{Nds}{EA}\cos\varphi\tag{3-4-40}$$

将式（3-4-37）代入式（3-4-40）得：

$$\Delta l=\int_{\mathrm{s}}\dfrac{H_{\mathrm{g}}ds}{EA}=H_{\mathrm{g}}\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\mathrm{ds}}{EA}\tag{3-4-41}$$

由于单位水平力作用在弹性中心，考虑轴向力影响所产生的水平位移为

$${\small\delta_{22}^{'}=\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{M}_2^2ds}{EI}+\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{N}_2^2ds}{EA}=\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\mathrm{y}^2ds}{EI}+\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\cos ^2\varphi ds}{EA}=(1+mu)\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\mathrm{y}^2ds}{EI}}\tag{3-4-42}$$

式中：y=y_s -y₁

$$\mu=\dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\cos^2\varphi}{EA}ds}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\mathrm{y}^2ds}{EI}}=\dfrac{l}{EvA\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\mathrm{y}^2ds}{EI}}\tag{3-4-43}$$

$$\mu_1=\dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{ds}{EA}}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\mathrm{y}^2 ds}{EI}}=\dfrac{l}{Ev_1 A\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\mathrm{y}^2ds}{EI}}\tag{3-4-44}$$

式中：	E	——	拱圈材料的弹性模量；
	A	——	拱圈截面面积；
	I	——	拱圈截面抗弯惯性矩；

其余符号意义同前，或见图3-4-5所示。

$\mu 和{\mu }_1、{\displaystyle \frac{1}{v}}和{\displaystyle \frac{1}{v_1}}可由m和主拱{\displaystyle \frac{f_0}{L_0}}$查附录Ⅳ，附表Ⅳ-0-7～10。

[A3-4.15] 3. 恒载作用下拱圈截面总内力
在拱桥计算中，拱内力符号习惯上采用下述规定：弯矩M以使拱圈内缘受拉为正；剪力V以绕与脱离体逆时针转为正；轴向力N以使拱圈受压为正。图3-4-8所示M、V、N均为正。

图3-4-8 弹性压缩产生的内力

当空腹式拱不考虑恒载压力线偏离拱轴线的影响时，拱圈各截面的恒载内力为不考虑弹性压缩的恒载内力加上弹性压缩产生的内力。

$$\left.\begin{array}{l}N=\dfrac{H_{\mathrm{g}}}{\cos\varphi}-\dfrac{\mu_1}{1+\mu}H_{\mathrm{g}}\cos\varphi\\ M=\dfrac{\mu_1}{1+\mu}H_{\mathrm{g}}(\mathrm{y_s}-\mathrm{y_1})\\ V=\mp \dfrac{\mu_1}{1+\mu}H_{\mathrm{g}}\sin\varphi \end{array}\right\}\tag{3-4-45}$$

式中，“－”适用于左半拱，“＋”适用于右半拱，以后出现时均同。
从式（3-4-45）不难看出，考虑了弹性压缩后，即使不计入偏离弯矩的影响，拱圈内仍有恒载弯矩。在拱顶产生正弯矩，该处压力线上移；在拱脚产生负弯矩，压力线下移，即考虑弹性压缩后，不论是实腹式拱还是空腹式拱，恒载压力线与拱轴线将不可能重合。
当考虑偏离影响时，按式（3-4-26）～式（3-4-28）计算由偏离引起的恒载内力，并与式（3-4-45）叠加，这样各截面的内力公式为：

$$\left.\begin{array}{l}N=\dfrac{H_{\mathrm{g}}}{\cos\varphi}+\Delta X_2\cos\varphi-\dfrac{\mu_1}{1+\mu}(H_{\mathrm{g}}+\Delta x_2)\cos\varphi\\ M=\dfrac{\mu_1}{1+\mu}(H_{\mathrm{g}}+\Delta X_2)(\mathrm{y_s}-\mathrm{y_1})+\Delta M\\ V=\mp \dfrac{\mu_1}{1+\mu}(H_{\mathrm{g}}+\Delta X_2)\sin\varphi\pm\Delta X_2\sin\varphi \end{array}\right\}\tag{3-4-46}$$

偏离附加内力的大小与荷载的具体布置有关，一般地，拱上腹孔跨径越大，偏离影响也越大，对于大跨径空腹式拱桥，应该计入偏离影响。

[A3-4.16] 4. 裸拱自重内力
采用支架法施工的拱圈[图3-4-9a）]在支架卸落时，采用无支架施工的拱桥[图3-4-9b）]在拱圈合龙时，须计算裸拱自重产生的内力，以便进行裸拱承载力和稳定性验算。

图3-4-9 裸拱施工示例

取悬臂曲梁为基本结构[图3-4-10a）]。对于等截面拱，任意截面i的恒载集度g_i为：

$$g_{\mathrm{i}}=\dfrac{_{\mathrm{d}}}{\cos\varphi}\tag{3-4-47}$$

图3-4-10 拱圈自重作用下内力计算图式

由于结构和荷载均为正对称，故在弹性中心处仅有两个正对称的赘余力：弯矩M_s和水平力H_s。由典型方程得：

$$M_{\mathrm{s}}=-\dfrac{\Delta _{\mathrm{1p}}}{\delta _{11}}=-\dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{M}_1M_{\mathrm{p}}ds}{EI}ds}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{M}_1^2}{EI}ds}=-\dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{M_{\mathrm{p}}}{EI}ds}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{ds}{EI}}$$

$$H_{\mathrm{s}}=-\dfrac{\Delta _{\mathrm{2p}}}{\delta _{22}^{'}}=-dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{M}_2M_{\mathrm{p}}}{EI}ds}{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{M}_2^2}{EI}ds+\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\bar{N}_2^2}{EI}ds}=-\dfrac{\int_{\mathrm{s}}\dfrac{M_{\mathrm{p}}\mathrm{y}}{EI}ds}{(1+\mu)\int_{\mathrm{s}}\dfrac{\mathrm{y^2}}{EI}ds}$$

积分后可得：

$$\left.\begin{array}{l} M_{\mathrm{s} }=\dfrac{A\gamma l^2}{4}V_1\\ H_{\mathrm{s} }=\dfrac{A\gamma l^2}{4(1+\mu)f}V^2 \end{array}\right\}\tag{3-4-48}$$

式中：	γ	——	拱圈材料的重度；
	A	——	拱圈截面积（净面积或实际面积）；
	V1,V2	——	系数，由m和主拱F/L查附录Ⅳ，附表Ⅳ-0-12、13。

为了简化计算，可将整个积分过程简化为计算表，通过查表得到V₁,V₂，代入公式（3-4-48）计算出弯矩M_s和水平力H_s。

由静力平衡条件得任一截面弯矩和轴力为：

$$\left.\begin{array}{l}M_{\mathrm{i} }=M_{\mathrm{s} }-H_{\mathrm{s}\mathrm{y} -\displaystyle \sum_n^i M}\\ N_{\mathrm{i} }=H_{\mathrm{s}}\cos\varphi_{\mathrm{i} }+\displaystyle {\sum_n^i P\cdot \sin \varphi_{\mathrm{i} }} \end{array}\right\}\tag{3-4-49}$$

式中：	${\displaystyle \sum _n^{i}M}$	——	拱顶至i截面间裸拱自重对该截面的弯矩；
	${\displaystyle \sum _n^{i}P}$	——	拱顶至i截面间裸拱自重的总和；
	n	——	拱顶截面编号。

当拱的矢跨比为${\displaystyle \frac{1}{10}}\sim {\displaystyle \frac{1}{5}}$时，悬链线裸拱恒载压力线的拱轴系数m₀=1.079~1.305，通常比拱轴线采用的m值小。计算表明，在裸拱的自重作用下，拱顶、拱脚一般都产生正弯矩。拱轴线的m与裸拱的m₀差得越多，拱顶、拱脚的正弯矩就越大。因此，采用无支架施工的拱桥，宜适当降低拱轴系数。

二、活载作用下拱圈内力计算

[A3-4.17] 在桥梁结构计算中，活载内力计算往往需要先计算截面内力影响线，然后在影响线上进行加载求解。无铰拱是超静定结构，通过弹性中心法将无铰拱简化为静定的、带刚臂的简支曲梁，从而在刚臂端点产生赘余力X₁、X₂和X₃，因此，需先求出赘余力影响线，再利用静力平衡条件和叠加方法求出计算截面的活载内力影响线，最后在内力影响线上布载，算出计算截面最不利内力。为简化计算，活载内力仍由不考虑弹性压缩影响和考虑弹性压缩影响两部分活载内力叠加而成。

[A3-4.18] 1. 不考虑弹性压缩影响的活载内力

（1）赘余力影响线
为使积分连续，便于制表，在求活载内力影响线时，采用简支曲梁作为基本结构，如图3-4-11所示，赘余力X₂、X₃作用在刚臂端点，并通过弹性中心。根据《结构力学》和弹性中心的特性，图3-4-11a）中所有副变位均为零。设图3-4-11b）所示内、外力方向及与内力同向之变位均为正值，作用在弹性中心的赘余力，可按下式求解：

$$ \left.\begin{array}{l}X_1\delta_{11}+\Delta _{\mathrm{1p} }=0,X_1=-\dfrac{\Delta _{\mathrm{1p} }}{\delta_{11}}\\ X_2\delta_{22}+\Delta _{\mathrm{2p} }=0,X_2=-\dfrac{\Delta _{\mathrm{2p} }}{\delta_{22}}\\ X_3\delta_{33}+\Delta _{\mathrm{3p} }=0,X_3=-\dfrac{\Delta _{\mathrm{3p} }}{\delta_{33}}\end{array}\right\} \tag{3-4-50}$$

式中，分母部分为弹性中心的常变位值，δ_ii表示i点作用单位荷载在i点产生的位移；分子部分为载变位值，δ_ip表示移动荷载P在i点产生的位移，其中 i=1，2，3。

图3-4-11 活载内力计算基本结构

如暂不考虑轴向力对变位的影响，也不计剪力和曲率对变位的影响，则有

$$ \left.\begin{array}{l}\delta_{11}=\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\bar{M}_1^2}{EI}ds\\ \delta_{22}=\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\bar{M}_2^2}{EI}ds\\ \delta_{33}=\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\bar{M}_3^2}{EI}ds \end{array}\right\} \tag{3-4-51}$$

$$ \left.\begin{array}{l}\Delta_{\mathrm{1p} }=\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\bar{M}_1M_{\mathrm{p} }}{EI}ds\\ \Delta_{\mathrm{2p} }=\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\bar{M}_2M_{\mathrm{p} }}{EI}ds\\ \Delta_{\mathrm{3p} }=\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\bar{M}_3M_{\mathrm{p} }}{EI}ds \end{array}\right\} \tag{3-4-52}$$

式中：	${\overline{M}}_1$	——	当X1=1时，在基本结构任意截面上产生的弯矩，${\overline{M}}_1=1$；
	${\overline{M}}_2$	——	当X2=1时，在基本结构任意截面上产生的弯矩， ${\overline{M}}_2={\mathrm{y}}_1-{\mathrm{y}}_2$；
	${\overline{M}}_3$	——	当X3=1时，在基本结构任意截面上产生的弯矩， ${\overline{M}}_3=\pm x$；
	Mp	——	单位荷载作用在基本结构上，任意截面所产生的弯矩。

为简化Δ_1p、Δ_2p、Δ_3p的计算，将距拱顶相对位移为a的单位荷载分解为正对称和反对称两组荷载，如图3-4-12b）、c）所示，并设荷载作用在右半拱[图3-4-12a）]。

图3-4-12 将荷载分解为正、反对称

利用结构的对称性，在计算载变位Δ_1p、 Δ_2p时，只需考虑正对称荷载作用的情况（反对称为零）；而计算Δ_3p则只考虑反对称荷载的情况（正对称为零）。

正对称时：

$$AB段：M_{\mathrm{p} }=\dfrac{1}{2}(l_1-x)$$

$$BC段：M_{\mathrm{p} }=\dfrac{l_1}{2}(1-a)$$

反对称时：

$$AB段：M_{\mathrm{p} }=\mp\dfrac{a}{2}(l_1-x)$$

$$BC段：M_{\mathrm{p} }=\mp\dfrac{x}{2}(1-a)$$

将${\overline{M}}_1=1、{\overline{M}}_2={\mathrm{y}}_1-{\mathrm{y}}_{\mathrm{s}}、{\overline{M}}_3=\pm x$及M_p带入常变位公式（3-3-47）及载变位公式（3-3-48），可得

$$\begin{array}{l}\delta_{11}=\dfrac{l}{EI}\int_{0}^{1}\sqrt{1+\eta^2sh^2k\xi}d\xi=\dfrac{l}{EIv_1}\\ \delta_{22}=\dfrac{l}{EI}\int_{0}^{1}[\dfrac{f}{m-1}(chk\xi-1)-\mathrm{y_s}](\dfrac{f}{m-1}chk\xi)\sqrt{1+\eta^2sh^2k\xi}d\xi=\theta \dfrac{lf^2}{EI}\\ \delta_{33}=\dfrac{l}{EI}\int_{0}^{1}\xi^2\sqrt{1+\eta^2sh^2k\xi}d\xi=\gamma\dfrac{l^3}{EI} \end{array}$$

$$\hspace{-3cm}{\small\Delta_{\mathrm{1p}}=\dfrac{(1-a)l^2}{4EI}\int_{0}^{a}\xi^2\sqrt{1+\eta^2sh^2k\xi}d\xi+\dfrac{l^2}{4EI}\int_{a}^{1}\xi^2\sqrt{1+\eta^2sh^2k\xi}d\xi}$$

$$\hspace{-2cm}\begin{align}\Delta _{\mathrm{2p} }=&\dfrac{l^2}{4EI}\{(1-a)\int_0^{a}[\dfrac{f}{m-1}(\mathrm{ch} k\xi-1)-{\mathrm{y_s}}]\sqrt{1+\eta^2{\mathrm{sh}}^2k\xi}d\xi \\ &+\int_a^{1}[\dfrac{f}{m-1}(\mathrm{ch} k\xi-1)-{\mathrm{y_s}}](1-\xi)\sqrt{1+\eta^2{\mathrm{sh}}^2k\xi}d\xi \}\end{align}$$

$$\hspace{-1.8cm}{\small\Delta_{\mathrm{3p}}=-\dfrac{(1-a)l^3}{8EI}\int_{0}^{a}\sqrt{1+\eta^2sh^2k\xi}d\xi-\dfrac{l^3a}{8EI}\int_{a}^{1}\xi(1-\xi)\sqrt{1+\eta^2sh^2k\xi}d\xi}$$

${\displaystyle \frac{1}{v_1}}、\theta 、\gamma 可由m和主拱{\displaystyle \frac{f_0}{L_0}}$查附录Ⅳ，附表Ⅳ-0-7、5、6。

当荷载 P=1作用于不同位置时，可利用上述表达式求得δ_ii和Δ_ip，代入式（3-3-46）分别求出赘余力各点的影响线，如图3-4-13所示。

图3-4-13 赘余力影响线

（2）支点反力和内力影响线
有了赘余力影响线后，拱脚截面支点反力以及任意截面的内力影响线，可利用静力平衡条件和叠加方法求得。

①水平推力影响线
由Σx=0，得水平推力H₁=X₂，即 H₁的影响线为赘余力X₂的影响线。

②拱脚竖向反力影响线
由Σy=0，得竖直反力R=R₀$\mp$X₃。其中，R₀为简支梁反力。故竖向反力R的影响线由R₀与赘余力X₃两条影响线叠加而成，如图3-4-13e）所示（左拱脚的竖向反力影响线）。显然，拱脚竖向反力的影响线总面积$\omega ={\displaystyle \frac{1}{2}}$。

③任意截面的内力影响线
由图3-4-13a）可得任意截面的内力为

$$ \left.\begin{array}{l}M=M_0-H_1{\mathrm{y}}\pm X_3 x+X_1 \\ N=V_{\mathrm{b}}\sin \varphi+H_1\cos\varphi\\ V=\pm H_1\sin \varphi-V_{\mathrm{b}}\cos \varphi\end{array}\right\}\tag{3-4-53}$$

式中：	M0	——	简支梁弯矩；
	Vb	——	作用于截面以左的竖向反力总和，称为梁式剪力，正值表示向上，负值表示向下，当单位荷载在截面以左时，Vb=R左-1，当在截面以右时，Vb=R左 ；
	R左	——	拱的左支承竖向反力。

根据式（3-4-53）可叠加求得拱圈任意截面的内力影响线，其形状如图3-4-14所示。

任意截面i的轴向力N_i和剪力V_i的影响线，因在截面i处有突变，当集中荷载P作用在i截面的左、右两边时，轴向力N和剪力V均有较大的差异，因此，在实际计算时，一般不直接利用影响线，而是先求该截面的水平力H₁和拱脚的竖向反力R，再按下式计算轴向力N和剪力V：

$$ 轴向力\left\{\begin{array}{l} 拱顶 ：N=H_1\\ 拱脚：N=H_1\cos \varphi_{\mathrm{j} }+R\sin\varphi_{\mathrm{j}}\\ 其他截面：N\approx H_1\cos\varphi\end{array}\right. \tag{3-4-54a}$$

$$ 剪力\left\{\begin{array}{l} 拱顶 ：数值很小，一般不计算\\ 拱脚：N=H_1\sin \varphi_{\mathrm{j} }-R\cos\varphi_{\mathrm{j}}\\ 其他截面：数值很小，一般不计算\end{array}\right. \tag{3-4-54b}$$

图3-4-14 拱的内力影响线

拱桥属空间结构。《公路圬工桥涵设计规范》（JTG D61）规定，拱桥应考虑活载的横向不均匀分布，但实腹式拱桥和拱上建筑为拱式结构的空腹式拱桥或拱上建筑采用墙式墩且活载横桥向布置不超过拱圈以外的拱桥，可考虑活载均匀分布于拱圈全宽。通常，石拱桥取1 m拱宽作为计算单元，双曲拱取一个横波单元宽度来计算，肋拱桥以一条拱肋为计算单元，同时计入荷载横向分布系数。

拱圈是以受压为主的结构，在承载过程中，压力线与拱轴线会产生偏离，导致拱圈截面产生弯矩。为控制受弯截面开裂（或开裂宽度过大）影响拱桥正常使用，应计算拱圈截面最大正（负）弯矩。一般可在弯矩影响线上按最不利情况布载（图3-4-15），求得最大正（负）弯矩，然后求出与这种加载情况相应的H₁和R的数值，以求得与最大正（负）弯矩相对应的轴向力 ，以便对该截面进行验算。

图3-4-15 求拱脚Mjmax及相应H1的布载方式

拱桥属空间结构，现行《公路圬工桥涵设计规范》（JTG D61）规定，拱桥应考虑活载的横向不均匀分布，即用计算荷载横向分布系数的方法将拱桥空间问题转化为平面问题，拱桥具体横向分布系数的求解方法在本章第一节内容中已有阐述，这里就不再赘述。

[A3-4.19] 2. 活载作用下弹性压缩引起的内力
活载弹性压缩与恒载弹性压缩相似，是由活载的轴向力对变位的影响，在弹性中心产生赘余水平力 ΔH。由典型方程得

$$ \Delta H=-\dfrac{\Delta l}{\delta _{22}^{'}}=-\dfrac{\int _{\mathrm{s} }\dfrac{Nds}{EA}\cos \varphi}{\delta _{22}^{'}} \tag{3-4-55}$$

图3-4-16 活载弹性压缩引起的内力计算简图

取脱离体如图3-4-16所示，轴力N可表示为：

$$N=\dfrac{H_1-V\sin\varphi}{\cos \varphi}=\dfrac{H_1}{\cos\varphi}(1-\dfrac{V}{H_1}\sin\varphi)$$

式中的第二项Vsinφ/H₁常可近似略去，则得：$N={\displaystyle \frac{H_1}{\cos \phi }}$，代入式（3-4-55）得：

$$ \Delta H=-\dfrac{H_1 \int_{\mathrm{s}}\dfrac{ds}{EA}}{(1+\mu) \int_{\mathrm{s}}\dfrac{\mathrm{y} ^2ds}{EI}}=-H_1\dfrac{\mu_1}{1+\mu} \tag{3-4-56}$$

式中，μ和μ₁可由附录Ⅳ之附表Ⅳ-0-10和附表Ⅳ-0-8查得。

由弹性压缩引起的内力为

$$ \left.\begin{array}{l} 弯矩 ：\Delta M=-\Delta H\mathrm{y} =\dfrac{\mu}{1+\mu}H_1\mathrm{y} \\ 轴向力：\Delta N=\Delta H\cos \varphi=\dfrac{\mu}{1+\mu}H_1\cos \varphi \\ 剪力：\Delta V=\mp \Delta H\sin \varphi=\mp \dfrac{\mu}{1+\mu}H_1\sin \varphi \end{array}\right\}\tag{3-4-57}$$

将不考虑弹性压缩的活载内力与考虑弹性压缩产生的内力叠加，即可得活载作用下的总内力。不考虑弹性压缩的活载内力可通过内力影响线加载计算，活载弹性压缩产生的内力可根据μ和μ₁ ，由式（3-4-57）直接求出。

三、温度变化、混凝土收缩和拱脚变位引起的附加内力计算

[A3-4.20] 作为超静定结构的无铰拱，温度变化、混凝土收缩及拱脚变位均会产生附加内力。

[A3-4.21] 1. 温度变化
温度变化对拱桥内力分布影响很大，而温度变化一般按照年平均温差的方式进行计算，即以年平均最高温度高于拱圈合龙温度的数值视为升温温差，年平均最低温度低于拱圈合龙温度的数值视为降温温差。将此温度变化值视之为骤变温差，计算其在超静定拱圈上产生的附加内力（这样计算结果更不利）。温度变化引起的内力计算与弹性压缩计算的概念一样。设温度变化引起跨径方向的变位为 Δl_t，根据变形协调条件，必然在弹性中心产生一个水平赘余推力 H_t，如图3-4-17所示。

图3-4-17 温差内力计算图式

典型方程为

$$H_\mathrm{t} =\dfrac{\Delta l_{\mathrm{t} }}{\delta _{22}^{'}}=\dfrac{al(t_2-t_1)}{(1+\mu)\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\mathrm{y^2}} {EI}ds}\tag{3-4-58}$$

式中：	a	——	材料的线膨胀系数，混凝土或钢筋混凝土为1.0×10-5/℃，混凝土预制块砌体为0.9×10-5/℃，石砌体为0.8×10-5/℃；
	t1	——	拱合龙时的温度；
	t1	——	当地最高或最低月平均温度；
	${\int }_{\mathrm{s}}{\displaystyle \frac{{\mathrm{y}}^2}{EI}}ds$	——	可查附录Ⅳ，附表Ⅳ-0-5。

显然，温度上升时，H_t为正（向内作用）；温度下降时， H_t为负（向外作用）。

由温度变化引起拱中任意截面的附加内力为

$$\left.\begin{array}{l} 弯矩:M_{\mathrm{t} }=-H_{\mathrm{t}} \mathrm{y} =-H_{\mathrm{t}}(\mathrm{y_s-y_t} )\\ 轴向力:N_{\mathrm{t} }=H_{\mathrm{t}}\cos\varphi\\ 剪力:V_{\mathrm{t} }=\pm H_{\mathrm{t}}\sin\varphi \end{array}\right\}\tag{3-4-59}$$

对于箱形拱桥，温度计算内容尚应包括箱室内外温差效应。当无可靠资料时，箱室内外温差可按10℃计算。箱室内外温差效应计算方法与箱梁桥相似。

[A3-4.22] 2. 混凝土收缩
混凝土在硬化过程中的收缩变形作用与混凝土降温相似。通常混凝土收缩的影响可折算为温度的额外降低。根据结构施工方法，混凝土收缩的影响可按建议计算：

（1）整体浇筑混凝土，一般地区相当于降低温度20℃，干燥地区为30℃；整体浇筑的钢筋混凝土，相当于降低温度15℃～20℃。

（2）分段浇筑的混凝土或钢筋混凝土，相当于降低温度10℃～15℃。

（3）装配式钢筋混凝土，相当于降低温度5℃～10℃。

计算拱圈的温度变化和混凝土收缩影响时，可根据实际资料考虑混凝土徐变的影响。如缺乏实际资料，计算内力可乘以下列系数：温度变化影响力取0.7；混凝土收缩影响力取0.45。但考虑到目前已完全有能力将混凝土徐变效应在结构分析中计入，故此不建议折减混凝土徐变的影响。因为，这种简化方法可能不利于对混凝土的徐变及其他效应的认识与判断。

[A3-4.23] 3. 拱脚位移
建造在软土地基上的拱桥，墩台常发生水平位移、不均匀沉降或转动，这些变位在超静定拱中均会产生附加内力。

（1）拱脚相对水平位移引起的内力
在图3-4-18中，设左拱脚发生水平位移Δ_HA，右拱脚发生水平位移Δ_HB，两拱脚相对水平位移Δ_H为

$$\Delta_{\mathrm{H}}=\Delta_{\mathrm{HB}}-\Delta_{\mathrm{HA}}$$

其中，Δ_HA、Δ_HB的正负规定为：自原位置右移为正，左移为负。

图3-4-18 拱脚水平位移引起内力计算图式

在弹性中心处也将产生Δ_H的相对水平位移，但相对转角和垂直位移均为零。由变形协调条件可得弹性中心处的赘余力X₂为

$$ X_2=-\dfrac{\Delta _{\mathrm{H} }}{\delta _{22}}=-\dfrac{\Delta _{\mathrm{H}}}{\int_{\mathrm{s}\dfrac{\mathrm{y^2} ds}{EI} }}\tag{3-4-60}$$

拱中任意截面的内力为

$$\left.\begin{array}{l} M=- X_2 (\mathrm{y_s -y_1})=\dfrac{\Delta_{\mathrm{H}}}{\delta_{22}}(\mathrm{y_s -y_1})\\ N=X_2 \cos \varphi=-\dfrac{\Delta_{\mathrm{H}}}{\delta_{22}}\cos\varphi \\ V= \mp X_2 \sin\varphi=\mp\dfrac{\Delta_{\mathrm{H}}}{\delta_{22}}\sin\varphi \end{array}\right\}\tag{3-4-61}$$

（2）拱脚相对垂直位移引起的内力
在图3-4-19中，设左拱脚发生垂直位移Δ_VA，右拱脚发生垂直位移Δ_VB，拱脚相对垂直位移Δ_V为

$$\Delta_{\mathrm{V}}=\Delta_{\mathrm{VB}}-\Delta_{\mathrm{VA}}\tag{3-4-62}$$

其中，Δ_VA、Δ_VB的正负规定为：自原位置向下位移为正，上移为负。

图3-4-19 拱脚垂直位移引起内力计算图式

在弹性中心处也将产生Δ_V的相对垂直位移，但相对转角和水平位移均为零。由变形协调条件可得弹性中心处的赘余力X₃为

$$X_3=-\dfrac{\Delta _{\mathrm{V} }}{\delta_{33}}=\dfrac{\Delta _{\mathrm{V}}}{\int_{\mathrm{s} }\dfrac{x^2 ds}{EI}}\tag{3-4-63}$$

式中：${\int }_{\mathrm{s}}{\displaystyle \frac{x^{2}ds}{EI}}$——可查附录Ⅳ，附表Ⅳ-0-6。

拱中任意截面的内力为

$$\left.\begin{array}{l} M=\pm X_3 x=\mp \dfrac{\Delta_{\mathrm{V}}}{\delta_{33}}x\\ N=\mp X_3 \sin \varphi=\pm \dfrac{\Delta_{\mathrm{V}}}{\delta_{33}}\sin\varphi \\ V= X_3 \cos\varphi=-\dfrac{\Delta_{\mathrm{V}}}{\delta_{33}}\cos\varphi \end{array}\right\}\tag{3-4-64}$$

（3）拱脚相对转角位移引起的内力

在图3-4-20中，拱脚B发生转角θ_B（θ_B顺时针为正），此时，在弹性中心处除了产生相同的转角θ_B外，还引起相对的水平位移Δ_H和垂直位移Δ_V ，由变形协调条件可得弹性中心处的3个赘余力X₁、X₂ 、X₃ 为

$$\left.\begin{array}{l} X_1=\dfrac{\theta _\mathrm{B} }{\delta _{11}}\\ X_2=\dfrac{\Delta _\mathrm{H} }{\delta _{22}}\\ X_3=\dfrac{\Delta _\mathrm{V} }{\delta _{33}} \end{array}\right\}\tag{3-4-65}$$

式中，θ_B是已知的，而水平位移Δ_H和垂直位移Δ_V可由图图3-4-20b）几何关系确定，即

$$\Delta =\theta_{\mathrm{B} }\dfrac{l}{2}\cos a^{'},\tan a^{'}=\dfrac{(f-\mathrm{y_s)} }{l/2}$$

$$\Delta _{\mathrm{H} }=\Delta\sin a^{'}=\theta_{\mathrm{B} }(f-\mathrm{y_s} ),\Delta _{\mathrm{V} }=\Delta\cos a^{'}=\theta_{\mathrm{B} }l/2$$

将Δ_H、Δ_V代入式（3-4-65），得

$$\left.\begin{array}{l} X_1=\dfrac{\theta _\mathrm{B} }{\delta _{11}}\\ X_2=\dfrac{\theta _\mathrm{B}(f-\mathrm{y_s} ) }{\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\mathrm{y} ^2ds}{EI}}\\ X_3=\dfrac{\theta _\mathrm{B} l}{2\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\mathrm{x} ^2 ds}{EI}} \end{array}\right\}\tag{3-4-66}$$

图3-4-20 拱脚转角位移引起内力计算图式

拱脚相对转角位移引起任意截面的内力为（图3-4-21）：

$$\left.\begin{array}{l} M=X_1-X_2(\mathrm{y_2-y_1} )\pm X_3x\\ N=\mp X_3 \sin\varphi +X_2\cos \varphi\\ V=X_3\cos \varphi\pm X_2\sin \varphi \end{array}\right\}\tag{3-4-67}$$

图3-4-21 拱脚相对角变位引起各截面的内力

上述公式是假定右半拱顺时针转动推导出来的，若反时针转动θ_B，则式（3-4-66）中的θ_B以负值代入。如左拱脚顺时针转动θ_A，则式（3-4-66）应改为：

$$\left.\begin{array}{l} X_1=\dfrac{\theta _\mathrm{A} }{\delta _{11}}\\ X_2=\dfrac{\theta _\mathrm{A}(f-\mathrm{y_s} ) }{\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\mathrm{y} ^2ds}{EI}}\\ X_3=\dfrac{\theta _\mathrm{A} l}{2\int_{\mathrm{s} }\dfrac{\mathrm{x} ^2ds}{EI}} \end{array}\right\}\tag{3-4-68}$$

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