第三节 荷载横向分布计算

第三节 荷载横向分布计算

一、概述

[A2-4.25] 对于一座由多片主梁组成，并通过横隔梁、桥面板等横向连接构成一个整体的梁桥[图2-4-13a）]来说，当桥上有荷载P作用时，由于结构的横向刚性必然会使所有主梁不同程度地分担荷载P，而且，荷载作用的纵、横位置不同，各梁分担的荷载及其内力、变形亦发生变化，因此，桥中的各片梁组成的上部结构是一个空间受力结构。

图2-4-13 主梁荷载分布

[A2-4.26] 为了便于实用计算，设计中把空间受力简化成平面受力来分析：首先从横桥向确定出某根主梁所分担的荷载，然后再沿桥纵向确定该梁某一截面的内力，即

$$S=P\cdot \eta (x,y)\approx P\cdot \eta_{2}(y) \cdot\eta_{1}(x) \tag{2-4-24}$$

式中：	S	——	某根主梁某一截面的内力值；
	η(x,y)	——	该主梁某一截面的内力影响面；
	η1(x)	——	该单梁在桥纵向（x轴方向）某一截面的内力影响线；
	η1(x)	——	单位荷载沿桥面横向（y轴方向）作用在不同位置时，该单梁所分配的荷载比值变化曲线，也称作对于某梁的荷载横向分布影响线。

式（2-4-24）又可写作

$$S=P\cdot \eta (x,y)\approx P^{'} \cdot\eta_{1}(x)$$

$$即令\qquad \qquad P^{'} =P \cdot \eta_{2}(y)\tag{2-4-25}$$

表示当P作用于A(X,Y)点时沿横向分布给某梁的荷载[图2-4-13b）]。单梁的内力影响线η₁(x)不难利用《结构力学》的方法求得。本节所要解决的问题是怎样求得荷载横向分布影响线。

[A2-4.27] 什么是荷载横向分布系数？图2-4-14a）表示桥上作用着一辆前后轮各重P₁和P₂的汽车荷载，相应的轮重为P₁/2和P₂/2。如欲求3号梁k点的截面内力，则可先用对于3号梁的荷载横向分布影响线求出桥上横向各排轮重对该梁分布的总荷载（按横向最不利荷载位置求最大值），然后再利用这些荷载通过单梁k点的截面内力影响线来计算3号梁该截面的最大内力值。显然，如果桥梁的结构一定，轮重在桥上的位置也确定，则分布至3号梁的荷载也是一个定值。在桥梁设计中，通常用一个表征荷载分布程度的系数m与轴重的乘积来表示这个定值，因此前后轮轴的两排轮重分布至3号梁的荷载可分别表示为mP₁和mP₂（图2-4-14b））。这个m就称为荷载横向分布系数，表示某根主梁（这里指3号梁）所承担的最大荷载对各个轴重的倍数（通常小于1）。

图2-4-14 车轮荷载在桥上的横向分布

[A2-4.28] 显然，同一座桥梁内各根梁的荷载横向分布系数m是不相同的，不同类型的荷载（如汽车荷载、人群荷载）其m值也各异，而且荷载在梁上沿纵向的位置对m也有影响。这些问题将在以后的各节中加以阐明。现在再来分析桥梁结构具有不同横向连接刚度时，对于荷载横向分布的影响。

[A2-4.29] 设想图2-4-15表示五根主梁所组成的桥梁在跨径内承受荷载 的跨中横截面。图2-4-15a）表示主梁与主梁间没有任何联系的结构，此时如中梁的跨中有集中力P的作用，则全桥中只有直接承载的中梁受力，也就是说，该梁的横向分布系数m＝1，显然这种结构形式整体性差，而且是很不经济的。

图2-4-15 不同横向刚度时主梁的变形和受力情况

[A2-4.30] 再看图2-4-15c）的情况，如果将各主梁相互间借横隔梁和桥面刚性连接起来，并且设想横隔梁的刚度接近无穷大（EI_H≈ ∞），则在同样的荷载P作用下，由于横隔梁无弯曲变形，因此所有五根梁将共同参与受力。此时五根梁的挠度均相等，荷载P由五根梁均匀分担，每梁只承受1/5P，也就是说，各梁的横向分布系数m＝0.2。

[A2-4.31] 然而，一般钢筋混凝土或预应力混凝土梁桥实际结构情况是：各根主梁虽通过横向结构联成整体，但是横向结构的刚度并非无穷大。因此，在相同的荷载P作用下，各根主梁将按照某种复杂的规律变形[图2-4-15b）]，此时中梁的挠度w_b必然小于w_a而大于w_c，设中梁所受的荷载为mP，则其横向分布系数m也必然小于1而大于0.2。

[A2-4.32] 由此可见，桥上荷载横向分布的规律与结构的横向连接刚度有着密切关系，横向连接刚度越大，荷载横向分布作用越显著，各主梁的负担也越趋均匀。

[A2-4.33] 在实践中，由于施工特点、构造设计等的不同，钢筋混凝土和预应力混凝土梁桥上可能采用不同类型的横向结构。因此，为使荷载横向分布的计算能更好地适应各种类型的结构特性，就需要按不同的横向结构简化计算模型拟定出相应的计算方法。根据各种梁桥不同的横向联结构造建立计算模型，有以下几种荷载横向分布计算方法：

（1）杠杆原理法，为把横向结构（桥面板和横隔梁）视作在主梁上断开而简支在其上的简支梁。
（2）偏心压力法（又称作“刚性横梁法”），为把横隔梁视作刚性极大的梁，当计及主梁抗扭刚度影响时，此法又称为修正偏心压力法。
（3）横向铰接板（梁）法，为把相邻板（梁）之间视作铰接，只传递剪力。
（4）横向刚接梁法，为把相邻主梁之间视作刚性连接，即传递剪力和弯矩。
（5）比拟正交异性板法，为将主梁和横隔梁的刚度换算成正交两个方向刚度不同的比拟弹性平板来求解。

[A2-4.34] 上列各种实用的计算方法所具有的共同特点是：从分析荷载在桥上的横向分布出发，求得各梁的荷载横向分布影响线，从而通过荷载横向最不利布置来计算荷载横向分布系数m。有了作用于单梁上的最大荷载，就能按熟知的方法求得主梁的可变作用内力值。

[A2-4.35] 下面分别介绍各种计算荷载横向分布系数方法的基本原理和举例。

二、杠杆原理法

[A2-4.36] 按杠杆原理法进行荷载横向分布计算的基本假定是忽略主梁之间横向结构的联系作用，即假设桥面板在主梁梁肋处断开，而当作沿横向支承在主梁上的简支梁或悬臂梁来考虑，如图2-4-16b）所示。

图2-4-16 杠杆原理法

[A2-4.37] 杠杆原理法适用于荷载位于靠近主梁支点时的荷载横向分布计算。此时，主梁的支承刚度远大于主梁间横向联系的刚度，荷载作用于某处时，基本上由相邻的两片梁分担，并传递给支座，其受力特性与杠杆接近。另外，该法也可用于双主梁桥（图2-4-17），或横向联系很弱的无中间横隔梁的桥梁。

图2-4-17 杠杆原理法计算双主梁桥的横向分布系数

[A2-4.38] 为了求主梁所受的最大荷载，通常可利用反力影响线来进行计算，在此情况下，也就是计算荷载横向分布系数的横向影响线。利用上述假定作出主梁的荷载横向分布影响线，即当移动的单位荷载P=1作用于计算梁上时，该梁承担的荷载为1；当P作用于相邻或其他梁上时，该梁承担的荷载为零，该梁与相邻梁之间荷载按线性变化，如图2-4-16c）所示。

[A2-4.39] 有了各根主梁的荷载横向影响线，就可根据车辆荷载、人群荷载等各种可变作用的最不利荷载位置求得相应的横向分布系数M_0q、M_0r，这里M₀表示按杠杆原理法计算的荷载横向分布系数，脚标q、r相应表示车辆荷载和人群荷载。

[A2-4.40] 尚需注意，采用杠杆原理法计算时，应当分别计算几根主梁各自的横向分布系数，以便得到受载最大的主梁的最大内力作为设计依据。

[A2-4.41] 对于一般多梁桥，不论跨径内有无中间横隔梁，当桥上荷载作用在靠近支点处时，例如计算支点剪力时的情形，荷载的绝大部分通过相邻的主梁直接传至墩台。再从集中荷载直接作用在端横隔梁上的情形来看，虽然端横隔梁是连续于几根主梁之间的，但由于不考虑支座的弹性压缩和主梁本身的微小压缩变形，荷载将主要传至两个相邻的主梁支座，即连续端横隔梁的支点反力与多跨简支梁的反力相差不多。因此，在实际工程中人们习惯偏于安全地用杠杆原理法来计算荷载位于靠近主梁支点时的横向分布系数。

[A2-4.42] 杠杆原理法用于横向联系很弱的无横隔梁桥梁的荷载横向分布系数计算时，通常对于中间主梁会偏大些，而对于边梁则会偏小。对于无横隔梁的装配式箱形梁桥的初步设计，在绘制主梁荷载横向影响线时可以假设箱形截面是不变形的，故箱梁内的竖标值为等于1的常数，如图2-4-18所示。

图2-4-18 无横隔梁的装配式箱形梁桥的主梁横向影响线

[A2-4.43][例2-4-2] 图2-4-19a）所示为一桥面净空为净-7+2×0.75m人行道的钢筋混凝土T梁桥，共设五根主梁。试求荷载位于支点处时1号梁和2号梁相应于汽车荷载和人群荷载的横向分布系数。
【解】当荷载位于支点处时，应按杠杆原理法计算荷载横向分布系数。

（1）绘制1号梁和2号梁的荷载横向分布影响线，如图2-4-19b）和图2-4-19c）所示。
（2）在横向影响线上确定荷载沿横向最不利的布置位置。并求出相应于荷载位置的影响线竖标值。
例如，对于汽车荷载，规定的汽车横向轮距为1.80 m，两列汽车车轮的横向最小间距为1.30 m，车轮距离人行道缘石的最小距离为0.50 m。人群荷载应在人行道宽度范围内满布。
例如，对于汽车荷载，规定的汽车横向轮距为1.80 m，两列汽车车轮的横向最小间距为1.30 m，车轮距离人行道缘石的最小距离为0.50 m。人群荷载应在人行道宽度范围内满布。
（3）求荷载横向分布系数
求出相应于荷载位置的横向影响线竖标值后，就可得到横向所有荷载分布给1号梁的最大荷载值为：

$$汽车荷载 \mathrm{max} A_{1q}=\sum (\dfrac{P_{q}}{2} \cdot \eta_{q}) =\dfrac{1}{2} \sum\eta_{q}P_{q}=\dfrac{1}{2}\cdot 0.875 \cdot P_{q}=0.438 P_{q}$$ $$人群荷载 \mathrm{max} A_{1r}=\eta_{r}\cdot P_{r} \cdot 0.75=1.422\times P_{r}\times 0.75=1.422 P_{0r}\qquad \qquad $$

式中：	Pq、P0r	——	相应为汽车荷载轴重和每沿米跨长的人群荷载集度；
	ηq、ηr	——	对应于汽车车轮和人群荷载集度的横向影响线竖标。

由此可得，1号梁在汽车荷载和人群荷载作用下的最不利荷载横向分布系数分别为：

同理，按图2-4-19c）可计算得2号梁的最不利荷载横向分布系数分别为：

这里，在人行道上没有布载，因为人行道荷载引起的负反力在考虑荷载组合时反而会减小2号梁的受力。
当各根主梁的荷载横向分布系数m₀求得后，通常就取m₀最大的这根梁按常规方法来计算截面内力，这在以后还要详细阐明。

图2-4-19 按杠杆法计算横向分布系数（尺寸单位：mm）

三、偏心压力法和修正偏心压力法

[A2-4.44] 1、偏心压力法
偏心压力法的基本前提是：第一，在车辆荷载作用下，中间横隔梁可近似地看作一根刚度无穷大的刚性梁，横隔梁全长呈直线变形；第二，忽略主梁的抗扭刚度，即不计入主梁对横隔梁的抵抗扭矩。
如图2-4-20a）所示，图中ω_i表示桥跨中央各主梁的竖向挠度。基于横隔梁无限刚性的假定，此法也称“刚性横梁法”。

图2-4-20 偏心压力法

用偏心压力法计算荷载横向分布适用于桥上具有可靠的横向联结，且桥的宽跨比B/l小于或接近0.5的情况时（一般称为窄桥）的跨中区域的荷载横向分布影响线。
根据在弹性范围内，某根主梁所承受的荷载R_i与该荷载所产生的跨中弹性挠度ω_i成正比的原则，可以得出：在中间横隔梁刚度相当大的窄桥上，沿横桥向偏心布置可变作用，总是靠近可变作用一侧的边主梁受载最大。
如图2-4-20b）中的i）所示，对于具有近似刚性中间横隔梁的结构，坐标原点取桥面中心。偏心荷载P＝1可以用作用于桥轴线的中心荷载P＝1和偏心力矩m=1·e替代，分别求出这两种情况下1号主梁所承担的力，然后进行叠加，如图2-4-20b）中的ii）所示。

（1）中心荷载P=1的作用[见图2-4-20b）中iii）]。
由于中心荷载作用下，刚性中横梁整体向下平移，则各主梁的跨中挠度相等，即

$$\omega _{1}^{'} =\omega _{2}^{'} =\dots =\omega _{n}^{'}\tag{2-4-26}$$

根据材料力学，作用于简支梁跨中的荷载（即主梁所分担的荷载）与挠度的关系为：

$$\omega _{i}^{'} =\dfrac{R\mathrm{i}^{'}l^{3}}{48EI_{i}} 或 R_{i}^{'} =aI_{i}\omega _{i}^{'}\tag{2-4-27}$$

式中：

Ii

——

桥梁横截面内各主梁的惯性矩；

$$a=\frac{48E}{l^3}=常数（E为梁体材料的弹性模量）。$$

由静力平衡条件可得

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}R_{i}^{'}=a\omega _{i}^{'}\displaystyle \sum_{i=1}^{n} I_{i}=1$$

故

$$a\omega _{i}^{'} =\dfrac{1}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n} I_{i}} \tag{2-4-28}$$

将上式代入式(2-4-47)，即得中心荷载P=1在各梁间的荷载分布为

$$R_{i}^{'}=\dfrac{I_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}I_{i}}\tag{2-4-29}$$

当各主梁截面相同时，即I₁=I₂=···I_n=I，则

$$R_{i}^{'}=\dfrac{1}{n}\tag{2-4-30}$$

（2）偏心力矩M=1·e的作用[见图2-4-20b）中的iv）]。
在偏心力矩M=1·e作用下，桥的横截面产生绕中心点O的转角φ，因此各主梁的跨中挠度为

$$ \omega_{i}^{''}=a_{i} \tan \varphi\tag{2-4-31}$$

式中:a_i——各片主梁梁轴到横截面形心的距离。
根据力矩平衡条件，有

$$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} R_{i}^{''}\cdot a_{i}=1\cdot e\tag{2-4-32}$$

再根据反力与挠度成正比的关系，有

$$R_{ie}^{''}=a I_{i}\omega_{i}^{''}\tag{2-4-33}$$

即

$$ R_{ie}^{''}=a I_{i}\cdot a_{i} \tan \varphi = \beta a_{i} I_{i} (\beta=a \tan\varphi)\tag{2-4-34}$$

将式（2-4-34）代入式（2-4-32）则得

$$\beta=\dfrac{e}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}I_{i}}\tag{2-4-35}$$

将式（2-4-35）代入式（2-4-34）后，得

$$ R_{ie}^{''}=\dfrac{a_{i}e I_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}I_{i}}\tag{2-4-36}$$

注意，当上式中的荷载位置e和梁位a_i位于形心轴同侧时，取正号，反之应取负号。
当各主梁截面相同时，即I₁=I₂=···=I_n=I，则

$$ R_{ie}^{''}=\dfrac{a_{i}e}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}}\tag{2-4-37}$$

（3）偏心距离为e的单位荷载P=1对各主梁的总作用[见图2-4-20b）中的v）]。
将式（2-4-29）和式（2-4-36）相叠加得：

$$ R_{ie}=\dfrac{I_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}I_{i}}+\dfrac{ea_{i}I_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}I_{i}}\tag{2-4-38}$$

这就是i号主梁的荷载横向影响线在荷载P作用位置处的竖标值η_ie。
同理，当P=1位于k号梁轴上（e=a_k）时，对i号主梁的总作用的一般公式为：

$$ \eta _{ik} =R_{ik}=\dfrac{I_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}I_{i}}+\dfrac{a_{i}a_{k}I_{i}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}I_{i}}\tag{2-4-39}$$

从式（2-4-39）可以看出，当桥跨的横截面尺寸确定后，i号主梁的荷载横向影响线在各处的竖标值η_ie只与荷载偏心距e相关，即η_ie呈直线变化。因此，实际上只要计算荷载P作用在两根边梁上的竖标值，就可得到i号梁的荷载横向分布影响线。
比如，图2-4-20中1号梁的荷载横向分布影响线，即可通过求η₁₁和η₅₁得到

$$ \left.\begin{matrix}\eta _{11} =R_{11}=\dfrac{I_{1}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}I_{i}}+\dfrac{a_{1}^{2}I_{1}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}I_{i}} \\ \eta _{51} =R_{51}=\dfrac{I_{1}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}I_{i}}-\dfrac{a_{1}^{2}I_{1}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}I_{i}} \tag{2-4-40} \end{matrix}\right\} $$

当各主梁截面均相同时，则上式可简化成

$$ \left.\begin{matrix}\eta _{11} =\dfrac{1}{n}+\dfrac{a_{1}^{2}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \\ \eta _{51} =\dfrac{1}{n}-\dfrac{a_{1}^{2}}{\displaystyle \sum_{i=1}^{n}a_{i}^{2}} \tag{2-4-41} \end{matrix}\right\} $$

有了荷载横向影响线，就可以根据荷载沿横向的最不利位置来计算相应的横向分布系数，从而求得所受的最大荷载。

[A2-4.45] 【例2-4-3】 标准跨径L_k=20 m，计算跨径l=19.50 m的桥梁横截面如图2-4-21a）所示，试按偏心压力法求荷载位于跨中时1号边梁的荷载横向分布系数m_cq（汽车荷载）和m_cr（人群荷载）。

图2-4-21 按偏心压力法计算横向分布系数（尺寸单位：mm）

【解】此桥在跨径内设有横隔梁，具有强大的横向连接刚性，且承重结构的长宽比为：

$$\frac{l}{B}=\frac{19.50}{5\times 1.60}=2.4>2$$

故可按偏心压力法来绘制横向影响线并计算横向分布系数m_c。
本桥各根主梁的横截面均相等，=5，主梁间距为1.6 m，则

$$ \begin{aligned} \sum_{\mathrm{i}=1}^5 a_{\mathrm{i}}^2 & =a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2 \\ & =(2 \times 1.60)^2+1.60^2+0+(-1.60)^2+[2 \times(-1.60)]^2=25.60 \mathrm{m}^2 \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} &\eta_{11}=\frac{1}{n}+\frac{a_1^2}{\displaystyle\sum_{\mathrm{i}=1}^5 a_i^2}=\frac{1}{5}+\frac{(2 \times 1.60)^2}{25.60}=0.60\\ &\eta_{15}=\frac{1}{33}-\frac{a_1^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^5 a_i^2}=\frac{1}{5}-\frac{(2 \times 1.60)^2}{25.60}=-0.20 \end{aligned} $$

由η₁₁和η₁₅绘制1号梁横向影响线，如图2-4-21b）所示，图中按《桥规》规定确定了汽车荷载的最不利荷载位置，再由η₁₁和η₁₅计算横向影响线的零点位置。设零点至1号梁位的距离为x，则

$$ \dfrac{x}{0.60}=\dfrac{4 \times 1.60-x}{0.20} $$

解得x=4.80 m，正好在4号梁位处。零点位置已知后，就可求出相应于各个荷载位置的横向影响线竖标值η_q、η_r。
设人行道缘石至1号梁轴线的距离为△，则：
△=(7.00-4×1.60)/2=0.30 m

于是，1号梁的可变作用横向分布系数可计算如下（以x_qi和x_r分别表示影响线零点至汽车车轮和人群荷载集度的横坐标距离）：
汽车荷载

$$ \begin{aligned} m_{\mathrm{cq}} & =\dfrac{1}{2} \sum \eta_{\mathrm{q}}=\dfrac{1}{2}\left(\eta_{\mathrm{q} 1}+\eta_{\mathrm{q} 2}+\eta_{\mathrm{q} 3}+\eta_{\mathrm{q} 4}\right) \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \frac{\eta_{11}}{x}\left(x_{\mathrm{q} 1}+x_{\mathrm{q} 2}+x_{\mathrm{q} 3}+x_{\mathrm{q} 4}\right) \\ & =\frac{1}{2} \cdot \frac{0.60}{4.80}(4.60+2.80+1.50-0.30)=0.538 \end{aligned} $$

人群荷载

$$ m_{\mathrm{cr}}=\eta_{\mathrm{r}}=\dfrac{\eta_{11}}{x} \cdot x_{\mathrm{r}}=\frac{0.60}{4.80} \cdot\left(4.80+0.3+\frac{0.75}{2}\right)=0.684 $$

求得1号梁的可变作用横向分布系数后，就可得到可变作用分布至该梁的最大荷载值。

[A2-4.46] 2、考虑主梁抗扭刚度的修正偏心压力法

偏心压力法具有概念清楚、公式简明和计算方便等优点。然而其在推演中由于作了横隔梁近似绝对刚性和忽略主梁抗扭刚度的两项假定，这就导致了边梁受力偏大的计算结果。因此往往在实用计算中也有将按偏心压力法求得的变梁最大横向分布系数乘以0.9加以约略折减的方法。
为了弥补偏心压力法的不足，国内外也广泛地采用考虑主梁抗扭刚度的修正偏心压力法。这一方法既不失偏心压力法的优点，又避免了结构偏大的缺陷，因此修正偏心压力法是一个具有较高实用价值的近似方法。
由前述的偏心压力法知，荷载横向影响线坐标的公式为：

$$ R_{\mathrm{ie}}=\dfrac{I_{\mathrm{i}}}{\displaystyle\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} I_{\mathrm{i}}}+\dfrac{e a_{\mathrm{i}} I_{\mathrm{i}}}{\displaystyle\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} a_{\mathrm{i}}^2 I_{\mathrm{i}}} $$

上式中等号右边第一项是由中心荷载P=1引起的，此时各主梁只发生挠曲而无转动，显然与主梁的抗扭无关。等号右边第二项是由偏心力矩M=1·e的作用所引起，此时由于截面的转动，各主梁不仅发生竖向挠度，而且还必然同时引起扭转，但在计算式中没有计入主梁的抗扭作用。因此，要计入主梁的抗扭影响，只需对等式第二项给予修正。
现在来研究跨中垂直于桥轴平面内有外力矩M=1·e作用时桥梁的变形和受力情况。如图2-4-22a）所示，此时每根主梁除产生不同的挠度ω=_i^''外尚转动一个相同的φ角[图2-4-22b）]。如设荷载通过跨中的刚性横梁传递，截出此横隔梁作为脱离体来分析，可得各根主梁对横隔梁的反作用为竖向力 和抗扭矩 [图2-4-22c）]。

图2-4-22 考虑主梁抗扭的计算图式

根据平衡条件：

$$ \displaystyle\sum_{i=1}^{\mathrm{D}} R_1^{\prime \prime} a_1+\displaystyle\sum_{i=1}^{\mathrm{D}} M_{11}=1 \cdot e \tag{2-4-42} $$

由材料力学知，简支梁考虑自由扭转时跨中截面扭矩与扭角以及竖向力与挠度的关系为：

$$\varphi=\frac{l M_{\mathrm{T}}}{4 G I_{\mathrm{H}}} \tag{2-4-43a}$$

$$\omega_{i}^{\prime \prime}=\dfrac{R_{i}^{\prime} l^{3}}{48 E I_{\mathrm{i}}}\tag{2-4-43b}$$

式中：	l	——	为简支梁的跨径；
	ITi	——	梁的抗扭惯性矩；
	G	——	材料的剪切模量；

其余符号意义同前。
由图2-4-22b）几何关系]可知：

$$\varphi \approx \tan \varphi=\dfrac{\omega_i^{\prime}}{a_{i}}\tag{2-4-44}$$

将式（2-4-43b）代入，则：

$$\varphi=\dfrac{R_{i}^{''}l^{3}}{48 a_i E I_i}\tag{2-4-45}$$

将上式代入式（2-4-43a），就得：

$$M_{\mathrm{Ti}}=R_{\mathrm{i}}^{\prime} \cdot \dfrac{l^{2} G I_{\mathrm{Ti}}}{12 a_{\mathrm{i}} E I_{\mathrm{i}}}\tag{2-4-46}$$

为了计算任意k号梁的荷载，利用几何关系和式（2-4-43b），则：

$$\dfrac{\omega_i^{\prime \prime}}{\omega_{\mathrm{k}}^{\prime \prime}}=\frac{a_1}{a_{\mathrm{k}}}=frac{R_{\mathrm{i}}^{\prime} / I_{\mathrm{i}}}{R_{\mathrm{k}}^{\prime} / I_{\mathrm{k}}} $$

即得

$$R_{\mathrm{i}}^{\prime}=R_{\mathrm{k}}^{\prime} \cdot \dfrac{a_i I_{\mathrm{i}}}{a_{\mathrm{k}} I_{\mathrm{k}}}\tag{2-4-47}$$

再将式（2-4-46）和式（2-4-47）代入平衡条件式（2-4-42），则得：

$$ R_{\mathrm{k}}^{\prime} \cdot \dfrac{1}{a_{\mathrm{k}} I_{\mathrm{k}}}\left(\displaystyle\sum_{\mathrm{i}=1}^n a_{\mathrm{i}}^2 I_{\mathrm{i}}+\frac{G l^2}{12 E} \sum_{\mathrm{i}=1}^n I_{\mathrm{T}}\right)=e $$

$$ \displaystyle\sum_{=1}^n R_{\mathrm{k}}^n \cdot \dfrac{a_{\mathrm{i}}^2 I_{\mathrm{i}}}{a_{\mathrm{k}} I_{\mathrm{k}}}+\sum_{\mathrm{i}=1}^n R_{\mathrm{k}}^{\prime} \cdot \dfrac{a_{\mathrm{i}} I_{\mathrm{i}}}{a_{\mathrm{k}} I_{\mathrm{k}}} \cdot \dfrac{l^2 G I_{\mathrm{Ni}}}{12 a_{\mathrm{i}} E I_{\mathrm{i}}}=e $$

于是：

$$ \begin{aligned} R_{\mathrm{k}}^{\prime} & =\dfrac{e a_{\mathrm{k}} I_{\mathrm{k}}}{\displaystyle\sum_{\mathrm{i}=1}^{\mathrm{n}} a_{\mathrm{i}}^2 I_{\mathrm{i}}+\dfrac{G l^2}{12 E} \displaystyle\sum_{\mathrm{i}=1}^n I_{\mathrm{ij}}}=\dfrac{e a_{\mathrm{k}} I_{\mathrm{k}}}{\sum_{\mathrm{i}=1}^n a_i^2 I_{\mathrm{i}}}\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{G l^2}{12 E} \cdot \dfrac{\sum I_{\displaystyle\mathrm{ii}}}{\displaystyle\sum a_{\mathrm{i}}^2 I_{\mathrm{i}}}}\right) \\ & =\beta \dfrac{e a_{\mathrm{k}} I_{\mathrm{k}}}{\sum_{\mathrm{i}=1}^n a_{\mathrm{i}}^2 I_{\mathrm{i}}} \end{aligned}\tag{2-4-48} $$

最后可得考虑主梁抗扭刚度后任意k号梁的横向影响线竖标为：

$$ \eta_{\mathrm{ki}}=\dfrac{I_{\mathrm{k}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n I_i} \pm \beta \dfrac{\overline{e a} I_{\mathrm{k}}}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2 I_i}\tag{2-4-49} $$

式中：

$$\beta =\dfrac{1}{1+\dfrac{G l_{2}}{12E}\cdot \dfrac{\displaystyle\sum I_{Ti}}{\displaystyle\sum a_{i}^{2}} I_{i} } \tag{2-4-50}$$

β 称为抗扭修正系数，与梁号无关，纯粹取决于结构的几何尺寸和材料特性。

由此可见，与偏心压力法公式不同点仅在于第二项上乘了小于1的抗扭修正系数β ，所以此法称为“修正偏心压力法”。
以上为了简明起见，针对等截面简支梁的跨中截面进行分析，对于其他体系梁桥以及荷载不在跨中的情况，只要根据相应的扭角与扭矩以及竖向力与挠度的关系式出发[参见式（2-4-43）]，同样也可求出各该情况的β值。

对于简支梁桥，如果主梁的截面均相同，即I_i=I，I_Ti=I_T，并且跨中荷载P=1作用在1号梁上，即 ，则得1号梁横向影响线的两个坐标值为：

$$ \left.\begin{array}{l} \eta_{11}=\dfrac{1}{n}+\beta \dfrac{a_1^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_1^2} \\ \eta_{15}=\dfrac{1}{n}-\beta \dfrac{a_1^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i^2} \end{array}\right\}\tag{2-4-51} $$

此时

$$\beta=\frac{1}{1+\frac{n l^2 G I_1}{12 E I \displaystyle\sum a_i^2}}\tag{2-4-52}$$

当主梁的间距相同时：

$$\frac{n}{12 \sum a_{\mathrm{i}}^2}=\frac{\xi}{B^2}$$

式中：	n	——	主梁根数；
	B	——	桥宽[图2-4-22a）]；
	ζ	——	与主梁根数有关的系数，如表2-4-2所示。

表2-4-2 系数ξ

n	4	5	6	7
ξ	1.067	1.042	1.028	1.021

在此情况下

$$\beta=\dfrac{1}{1+\xi \dfrac{G I_{\mathrm{I}}}{E I}\left(\frac{l}{B}\right)^2}\tag{2-4-53}$$

从式（2-4-53）可以看出，l/B越大的桥，抗扭刚度对横向分布系数的影响也越大。
在计算时，混凝土的剪切模量G可取等于0.4E；对于由矩形组合而成的梁截面，如T形梁或I形梁，其抗扭惯性矩I_T近似等于各个矩形截面的抗扭惯性矩之和：

$$I_1=\displaystyle\sum_{i=1}^m c_i b_i t_1^3\tag{2-4-54}$$

式中：	bi、ti	——	相应为单个矩形截面的宽度和厚度（图2-4-23）；
	ci	——	矩形截面的抗扭刚度系数，根据t/b比值按表2-4-3计算；
	m	——	梁截面划分成单个矩形截面的块数。

表2-4-3 矩形截面的抗扭系数

1.0	0.9	0.8	0.7	0.6	0.5	0.4	0.3	0.2	0.1	<0.1
0.141	0.155	0.171	0.189	0.209	0.229	0.250	0.270	0.291	0.312	1/3

图2-4-23 I_T计算图式

[A2-4.47]【例2-4-4】 为了进行比较，仍取[例2-4-3]所采用的截面尺寸来计算考虑抗扭刚度修正后的荷载横向影响线竖标值。T形主梁的细部尺寸如图2-4-24所示。

图2-4-24 主梁截面尺寸（尺寸单位：mm）

【解】
1.计算 I 和 I_T

翼板的换算平均高度：

$$h=\dfrac{80+140}{2}=110(\mathrm{~mm})$$

求主梁截面重心位置：

$$a_{\mathrm{x}}=\dfrac{(1600-180) \times 110 \times \dfrac{110}{2}+1300 \times 180 \times \dfrac{1300}{2}}{(1600-180) \times 110+1300 \times 180}=412(\mathrm{~mm})$$

主梁抗弯惯性矩：

$$I=\dfrac{1}{12}(1600-180) \times 110^3+(1600-180) \times 110 \times\left(412-\frac{110}{2}\right)^2$$

$$ \begin{aligned} & +\dfrac{1}{12} \times 180 \times 1300^3+180 \times 1300 \times\left(\dfrac{1300}{2}-412\right)^2 \\ = & 1.575 \times 10^8+1.991 \times 10^{10}+3.296 \times 10^{10}+1.325 \times 10^{10} \\ = & 6.628 \times 10^{10}\left(\mathrm{~mm}^4\right) \end{aligned} $$

主梁抗扭惯性矩按式（2-4-54）查表2-4-3计算：

对于翼板t₁/b₁=110/1600=0.06875 < 0.1,查表得c₁=$\frac{1}{3}$

对于梁肋t₂/b₂=180/(1300-110)=0.15126 < 0.1, 查表并内揷得c₂=0.301, 由式 (2-4-54) 得:

$$ \begin{aligned} I_{\mathrm{I}} & =\dfrac{1}{3} \times 1600 \times 110^3+0.301 \times 1190 \times 180^3 \\ & =7.099 \times 10^8+2.089 \times 10^9=2.799 \times 10^9\left(\mathrm{~mm}^4\right) \end{aligned} $$

2. 计䈯抗扭修正系数β
由表 2-4-2 知, n=5 时, ζ=1.042, 并取 G=0.4E, 代入式（2-4-53）得：

$$\beta=\dfrac{1}{1+1.402 \times \dfrac{0.4 E \times 2.799 \times 10^9}{E \times 6.628 \times 10^{10}}\left( \dfrac{19.50}{5 \times 1.60}\right)^2}=0.877$$

3. 计算橫向影响线坚标值
对于 1 号边梁考虚㧍扭倍正后的横向影响线竖标值为:

$$\eta_{11}^{\prime}=\dfrac{1}{n}+\beta \dfrac{a_1^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^5 a_1^2}=0.20+0.877 \times 0.40=0.551 $$ $$\eta_{15}^{\prime}=\dfrac{1}{n}-\beta \dfrac{a_1^2}{\displaystyle\sum_{i=1}^5 a_i^2}=0.20-0.877 \times 0.40=-0.151 $$

在本例中，计入主梁抗扭影响时，边梁的荷载横向影响线竖标值最多降低了8.2%。设影响线零点离1号梁轴线的距离为x^'，则：

$$\dfrac{x^{'}}{0.551}=\dfrac{4\times1.60-x^{'} }{0.151} $$

解得:                 $x^{{}^{\prime }}=5.02$ m

4.计算荷载横向分布系数
1号边梁的横向影响线和布载图式如图2-4-25所示。

图2-4-25 修正偏压法 计算图式（尺寸单位：mm）

汽车荷载

$$m_{cq}^{'}=\dfrac{1}{2} \sum \eta _{q}^{'}=\dfrac{1}{2}\times(0.529+0.331+0.189-0.009)=0.520(0.538) $$

人群荷载

$$m_{cr}^{'}=\eta _{r}=0.625(0.684) $$

式中括弧内表示不计抗扭作用的值。本例计算结果表明，计及抗扭影响的m_cq^'和m_cr^'相应降低3.35%、8.63%。

四、铰接板（梁）法和刚接梁法

[A2-4.48] 对于用现浇混凝土纵向企口缝联结的装配式板桥以及仅在翼板间用焊接钢板或伸出交叉钢筋联结的无中间横隔梁的装配式桥，由于块件间横向具有一定的连结构造，但其连结刚性又很薄弱。这类结构的受力状态实际接近于数根并列而相互间横向铰接的狭长板（梁），对此情况专门拟定了横向铰接板（梁）理论来计算荷载的横向分布。本节将着重阐明铰接板（梁）法的计算，刚接梁法可以看作是铰接板（梁）理论的一种推广，本节只介绍其相异的计算特点。

[A2-4.49] 1.铰接板（梁）法
（1）基本假定：
①在竖向荷载作用下，接缝内只传递竖向剪力。
②采用半波正弦荷载来分析跨中荷载横向分布的规律。

图2-4-26 铰接板受力示意

[A2-4.50] 如图2-4-26b）所示，在P力作用下，板的接合缝处将产生：竖向剪力g(x)、纵向剪力t(x)、法向力n(x)、横向弯矩m(x)，t(x)、n(x)与g(x)>相比对板的影响极小，可忽略。由于接合缝的高度不大，刚性很小，所以传递的m(x)很小，可忽略。所以，结合缝处可视作铰接，仅传递竖向剪力g(x)。

[A2-4.51] 如图2-4-26c）所示，桥跨结构是由几片梁组成的空间结构，由于空间结构的分析计算较复杂，为简化计算，需将空间计算问题借助横向挠度分布规律来确定荷载横向分布的原理，简化为一个平面问题来处理。
严格来讲，在P作用下，任意两根板梁所分配到的荷载P(x)比值与挠度W(x)比值、截面内力M(x)、V(x)比值都相同。
即

$$\dfrac{w_{1}(x)}{w_{2}(x)} =\dfrac{M_{1}(x)}{M_{2}(x)} =\dfrac{V_{1}(x)}{V_{2}(x)} =\dfrac{P_{1}(x)}{P_{2}(x)} =常数$$

由材料力学的挠曲微分方程，对每片板梁均有关系式

$$M(x)=-EIw^{''}(x),V(x)=\frac{dM(x)}{dx} -EIw^{''}(x)$$

则

$$\dfrac{w_{1}(x)}{w_{2}(x)} =\dfrac{w_{1}^{''}(x)}{w_{2}^{''}(x)} =\dfrac{w_{1}^{'''}(x)}{w_{2}^{'''}(x)} =\dfrac{P_{1}(x)}{P_{2}(x)} =常数 \tag{2-4-55}$$

实际上，在P作用下的②号梁和在g(x)作用下的①号梁是在不同性质的荷载[P和g(x)]作用下的两片梁，所以（2-4-55）式的比例关系是不成立的。
如果引入一种半波正弦荷载$p(x)=p_0\sin \frac{\pi x}{l}$，来代替P进行分析计算，那么式（2-4-55）成立、计算误差较小。各根板梁的挠曲线将是半波正弦曲线，他们所分配到的荷载是具有不同峰值的半波正弦荷载$p_i(x)=p_i\sin \frac{\pi x}{l}$，这样能很好地模拟板间荷载的传递关系。
（2）铰接板桥的荷载横向分布

图2-4-27 铰接板桥受力图式

在半波正弦荷载$p(x)=p\sin \frac{\pi x}{l}$作用下，各铰缝内也产生正弦分布的铰接力$g_i(x)=g_i\sin \frac{\pi x}{l}$。鉴于荷载、铰接力和挠度三者的协调性，可取单位长度板宽研究。
对于n条板梁组成的桥梁，必然有（n－1）条铰缝。若在板梁间沿铰缝切开，则每一铰缝内作用着一对大小相等、方向相反的正弦分布铰接力g_i(x)。因此，n条板梁，有（n－1）个未知铰接力峰值g_i。

图2-4-28 铰接板桥计算图式

单位正弦荷载$p(x)=p\sin \frac{\pi x}{l}$(p=1)作用于①号板时，分配到各板的竖向荷载的峰值p_i1

$$ \left.\begin{array}{l} \text {1号板:}\quad p_{11}=1-g_1 \\ \text {2号板:}\quad p_{21}=g_1-g_2 \\ \text {3号板:}\quad p_{31}=g_2-g_3 \\ \text {3号板:}\quad p_{41}=g_3-g_4 \\ \text {5号板:}\quad p_{51}=g_4 \end{array}\right\}\tag{2-4-56} $$

用结构力学的“力法”原理来求g_i。求得g_i后，由以上各式可求出p_i1。
根据变形协调条件：两相邻板块在铰接缝处的竖向相对位移为零。建立正则方程如下：

$$ \left.\begin{array}{l} \delta_{11} g_1+\delta_{12} g_2+\delta_{13} g_3+\delta_{14} g_4+\delta_{1 \mathrm{p}}=0 \\ \delta_{21} g_1+\delta_{22} g_2+\delta_{23} g_3+\delta_{24} g_4+\delta_{2 \mathrm{p}}=0 \\ \delta_{31} g_1+\delta_{32} g_2+\delta_{33} g_3+\delta_{34} g_4+\delta_{3 \mathrm{p}}=0 \\ \delta_{41} g_1+\delta_{42} g_2+\delta_{43} g_3+\delta_{44} g_4+\delta_{4 \mathrm{p}}=0 \end{array}\right\}\tag{2-4-57} $$

式中：	δik	——	铰缝k内作用单位正弦铰接力，在铰接缝i处引起的竖向相对位移。
	δip	——	外荷载p在铰接缝i处引起的竖向位移。

如果求出了δ_ik和δ_ip，则g_i即可解得，从而计算p_i1。
δ_ik和δ_ip的求解：
将铰接缝i截开，并在板的跨中取单位长度进行分析，如图2-4-29所示。

图2-4-29 板梁的典型受力图式

规定：δ_ik与g_i方向一致取正号，反之取负号。

$$在铰缝\mathrm{i}处：\delta _{ii}=2(\omega +\phi \cdot\dfrac{b}{2} ) ——\delta _{ii}与g_{i}同向$$

在铰缝（i－1）和铰缝（i＋1）处：

$$\delta _{(i-1)i}=delta _{i(i+1)}=-(\omega -\phi \cdot\dfrac{b}{2} ) ——\delta _{(i-1)i}和\delta _{i(i+1)}与 g_{i}反向$$

$$且\delta _{(i-1)i}=\delta _{i(i-1)},\delta _{(i+1)i}=\delta _{i(i+1)}$$

在铰缝（i－2）和铰缝（i＋2）处：

$$\delta _{(i-2)i}=\delta _{i(i+2)}=0,且\delta _{(i-2)i}=\delta _{i(i-2)},\delta _{i(i+2)}=\delta _{(i+2)i}$$

外荷载p在铰接缝i处引起的竖向位移δ_ip：

$$\delta _{\mathrm{1p}}=-\omega $$

$$\delta _{\mathrm{2p}}=\delta _{\mathrm{3p}}=\delta _{\mathrm{4p}}=0 $$

将上述求得的δ_ik和δ_ip代入式（2-5-57），并设刚度系数$\gamma =\frac{\varphi \cdot \frac{b}{2}}{\omega }$，并代入式（2-5-57），得：

$$\left.\begin{array}{l} 2\left(1+\gamma\right)g_{1}-\left(1-\gamma\right)g_{2}=1\\ -\left(1-\gamma\right)g_{1}+2\left(1+\gamma\right)g_{2}-\left(1-\gamma\right)g_{2}=0\\ -\left(1-\gamma\right)g_{2}+2\left(1+\gamma\right)g_{1}-\left(1-\gamma\right)g_{4}=0\\ -\left(1-\gamma\right)g_{3}+2\left(1+\gamma\right)g_{4}=0 \end{array}\right\}\tag{2-4-58} $$

只要解得式（2-4-58）中的γ，g_i则可求得。求解γ的关键是求跨中扭角φ和跨中挠度ω。

①跨中挠度ω。

跨中挠度ω是对简支的挠曲线微分方程$EI w^{''''}(x)=p\sin\frac{\pi x}{l}$逐次积分，通过边界条件求解。解得挠度方程为：

解得挠度方程为：

$$\omega(x)=\dfrac{pl^{4}}{\pi ^{4}EI}\sin\dfrac{\pi x}{l}\tag{2-4-59}$$

当$x=\frac{1}{2}$时，跨中挠度为：

$$\omega=\dfrac{pl^{4}}{\pi ^{4}EI}\tag{2-4-60}$$

②跨中扭角 φ。

对简支的扭转微分方程$G I\phi^{\prime}\left(x\right)=-\frac{b}{2}\cdot p\sin\frac{\pi x}{l}$逐次积分，通过边界条件求解。解得扭角方程为：

$$\phi(x)=\dfrac{pbl^{2}}{2\pi ^{2}GI_{T}} \sin=\dfrac{\pi x}{l}\tag{2-4-61}$$

当$x=\frac{1}{2}$时，跨中扭角为：

$$\phi=\dfrac{pbl^{2}}{2\pi ^{2}GI_{T}} \tag{2-4-62}$$

③刚度系数 γ。

利用式（2-4-60）和式（2-4-62）即得：

$$\gamma=\dfrac{\phi\cdot\dfrac{b}{2}}{\omega}=\dfrac{b}{2}\cdot(\dfrac{pbl^2}{2\pi^{2}GI_{\mathrm{T}}} )/(\dfrac{pl^4}{2pi^{4}EI})=\dfrac{\pi^{2}EI}{4GI_{\mathrm{T}}}(\dfrac{b}{l})^{2}\approx 5.8\dfrac{I}{I_{\mathrm{T}}}(\dfrac{b}{l})^{2}\tag{2-4-63}$$

④抗扭惯性矩I_T。

对于矩形截面或多个矩形组成的开口截面，可利用式（2-4-54）并查表2-4-3进行计算。
对于封闭的薄壁截面或箱形截面，由于截面内抗扭剪应力的分布规律与开口式截面的本质上不同，应按以下各式进行计算。
不带“翼翅”的封闭截面

$$I_{\mathrm{T}}=\dfrac{4\Omega ^{2}}{\oint\dfrac{ds}{t}}\tag{2-4-64}$$

带“翼翅”的封闭截面

$$I_{\mathrm{T}}=\dfrac{4\Omega ^{2}}{\oint\dfrac{ds}{t}}+\displaystyle \sum_{i=1}^{m}c_{\mathrm{i}}b_{\mathrm{i}}t_{\mathrm{i}}^{3}\tag{2-4-65}$$

现以图2-4-30所示的箱形截面为例来说明式（2-4-65）的应用。

图2-4-30 箱形截面

$$\Omega=b\cdot h$$ $$\oint \dfrac{ds}{t} =\dfrac{b}{\mathrm{t_{1}}} +\dfrac{b}{\mathrm{t_{2}}} +\dfrac{2h}{\mathrm{t_{3}}} $$ $$\begin{align}\therefore I_{\mathrm{T}}&=\dfrac{4\Omega ^{2}}{\oint \dfrac{ds}{t} } +\displaystyle \sum_{i=1}^{m}c_{\mathrm{i}}b_{\mathrm{i}}t_{\mathrm{i}}^{3}\\ & =\dfrac{4b^{2}h^{2}}{b(\dfrac{1}{t_{1}}+\dfrac{1}{t_{2})+\dfrac{2h}{t_{3}}}} +2c\cdot at_{3}^{4} \end{align}\tag{2-4-66} $$

式中c由${\displaystyle \frac{t_4}{a}}$之值查表2-4-3求得。

⑤铰接板桥的荷载横向影响线和横向分布系数

前面讲的是p=1作用在①号板中轴线上时，各板的受力变形情况，对于弹性板梁来讲，荷载与挠度成正比关系，即p_i1=a₁·ω_i1

同理 p_1i=a_a·ω_1i

由变位互等定理：ω_il=ω_1i

由于每块板的截面相同，则比例常数a₁=a₂，$\Rightarrow p_{i1}=p_{1i}$

由此可见，p=1作用在①号板中轴线上时，任一板所分配到的荷载就等于p=1作用在任一板中轴线上时①号板所分配到的荷载。那么用p=1作用在①号板中轴线上求得的各板的荷载值p_i1就是①号板的荷载横向影响线竖标值η_i1。把各个η_1i按比例描绘在相应板梁的轴线位置，用光滑的曲线（或近似地用折线）连接这些竖标点，就是①号板的横向影响线，如图2-4-31b）所示。同理如将单位荷载作用在②号板梁轴线上，就可求得p_i2，从而可得η_2i，如图2-4-31c）所示。

在①号板的横向影响线上布载，即可求得①号板的横向分布系数m_c1。

其他各板方法相同。

图2-4-31 跨中荷载横向影响线（尺寸单位：m）

（3）铰接T梁桥的计算特点

铰接T梁与铰接板的区别：由于T梁翼板的刚度较板梁的小，T梁的悬臂端将产生弹性挠度f，f的分布接近于正弦分布，即$f(x)=f\cdot \sin {\displaystyle \frac{\pi x}{l}}$，其他与板梁完全相同，所以在分析中${\delta }_{ii}=2(\omega \varphi \cdot {\displaystyle \frac{b}{2}}+f)$，其他δ_ik均与板梁相同，分析方法亦与板梁相同。

图2-4-32 铰接T梁桥计算图式

[A2-4.52]【例2-4-5】 如图2-4-33所示为跨径l=12.60 m的铰接空心板桥的横截面布置，桥面净空为净-7＋2×0.75 m人行道。全桥跨由9块预应力混凝土空心板组成，试按铰接板法求1、3和5号板的汽车荷载和人群荷载的跨中荷载横向分布系数。

图2-4-33 空心板桥横截面（尺寸单位：mm）

【解】
（1）计算空心板截面的抗弯惯性矩I

$$\begin{align} I &=\dfrac{990 \times 600^3}{12}-2\times \dfrac{380 \times 80^3}{12}-4 \times \left[ 0.00686\times 380^4 +\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi \times 380^2}{4}(\dfrac{80}{2}+0.2122 \times 380)^2\right]\\ & =1.391 \times 10^10 (\mathrm{mm}^4)\end{align} $$

（2）计算空心板截面的抗扭惯性矩I_T
本例空心板截面可近似简化成图2-4-33b）中虚线所示的薄壁箱形截面来计算I_T，按式（2-4-66）计算得：

$$I_{\mathrm{T}}=\dfrac{4\times (990-80)^2 \times (600-70)^2}{(990-80)(\dfrac{1}{70}+\dfrac{1}{70})}+\dfrac{2\times(600-70)}{80}$$

（3）计算刚度参数γ

$$\gamma = 5.8 \dfrac{I}{I_{\mathrm{T}}}(\dfrac{b}{l})^2=5.8\times \dfrac{1.391\times 10^{10}}{2.371 \times 10^{10}}\times (\dfrac{1000}{12600})^2$$

（4）计算跨中荷载横向分布影响线
从铰接板荷载横向分布影响线计算用表（附录Ⅲ—1）中所属9-1、9-3和9-5的分表，在γ=0.02～0.04之间按直线内插法求得γ=0.0214的影响线竖标值η_1i、η_3i和η_5i。计算见表2-4-4（表中的数值为实际η_ki的小数点后三位数字）。

表2-4-4 影响线竖标值

板号	γ	单位荷载作用位置(i号板截面中心)									∑nki
		1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	0.02	236	194	147	113	088	070	057	049	046	≈1000
	0.04	306	232	155	104	070	048	035	026	023
	0.0214	241	197	148	112	087	068	055	047	044
3	0.02	147	160	164	141	110	087	072	062	057	≈1000
	0.04	115	181	195	159	108	074	053	040	035
	0.0214	148	161	166	142	110	086	071	060	055
5	0.02	088	095	110	134	148	134	110	095	088	≈1000
	0.04	070	082	108	151	178	151	108	082	070
	0.0214	087	094	110	135	150	135	110	094	087

将表中η_1i\η_13i和η_5i之值按一定比例尺绘于各号板的轴线下方，连接成光滑曲线后，就得1、3和5号板的荷载横向分布影响线，如图2-4-34b）、c）和d）所示。

图2-4-34 1、3和5号板的荷载横向分布影响线（尺寸单位：mm）

（5）计算荷载横向分布系数
按《通规》（JTG D60—2015）规定沿横向确定最不利荷载位置后，就可计算跨中荷载横向分布系数如下，

对于1号板：

$汽车m_{cq}={\displaystyle \frac{1}{2}}(0.197+0.119+0.086+0.056)=0.229$

$人群m_{cr}=0.235+0.044=0.279$

对于3号板：

$汽车m_{cq}={\displaystyle \frac{1}{2}}(0.161+0.147+108+0.073)=0.245$

$人群m_{cr}=0.150+0.055=0.205$

对于5号板：

$汽车m_{cq}={\displaystyle \frac{1}{2}}(0.103+0.140+0.140+0.103)=0.243$

$人群m_{cr}=0.088+0.088=0.176$

综上所得，汽车荷载横向分布系数的最大值为m_cq= 0.245，人群荷载的最大值为 m_cr=0.279。在设计中通常偏安全地取这些最大值来计算内力。

[A2-4.53] 2.刚接梁法

（1）计算原理及适用范围

在铰接板（梁）桥计算理论的基础上，在铰接处补充引入赘余弯矩m_i，可建立计及横向刚性连接特点的赘余力正则方程。用这一方法来求解各梁荷载横向分布的问题，就称为刚接梁法。

对于相邻二片主梁的接合处可以承受弯矩的，或虽然桥面系没有经过构造处理，但设有多片内横隔梁的，或桥面浇筑成一块整体板的桥跨结构，都可以看作是刚接梁系。荷载横向分布计算都可以采用刚接梁法

刚性连接的桥面板在半波正弦分布荷载（峰值为P）作用下，在纵向切口处的赘余力呈正弦分布。这些赘余力应该有五个：竖向剪力（峰值g）、弯矩（峰值m）、桥面板内纵向剪力流（峰值t）、由于相邻主梁弯曲后不同曲率引起的横向扭矩（峰值m_T）以及由于扭转中心不在桥面上而引起邻梁对切口缝的阻力（峰值n），见图2-4-35。通过精确分析，发现在竖向荷载作用下，t、m_T和n对荷载横向分布的影响很小，可以忽略不计，因此，只考虑赘余力g_i的影响。

图2-4-35 刚性连接的主梁之间的内力

求解赘余力素的一般正则力法方程式，可用矩阵形式表示为：

$$[{\delta _\mathrm{ij}}]\left \{{x_{\mathrm{j}}} \right \} +\left \{ {\delta _\mathrm{ip}} \right \} =\left \{ {0} \right \}\qquad (i或j=1,2,3,\dots \mathrm{n}) \tag{2-4-67}$$

式中：	δij	——	正则方程中位于赞余力素前的计算系数，它表示赘余力素峰值xj=1时在i处引起的相对变位；
	δip	——	外荷载在i处引起的相对变位；
	xi	——	处赘余力素的峰值。
	n	——	柱数。

以四梁式的简支梁桥为例，如图2-4-36所示，各主梁的截面、刚度都相等，主梁翼板之间为刚接，用力法求解。

图2-4-36 刚接梁法计算图式

把翼板的连接处切开，在单位正弦荷载作用下，切缝处有超静定内力g和m，图2-4-36上示出六个超静定内力的峰值，相应地有六个变形协调条件，从而就有六个力法方程，用矩阵方程式表示为：

$$\begin{array}{l} \left [ \begin{matrix} \delta_{\mathrm{g}} & \gamma -1 & 0 & 0 & \gamma & 0 \\ \gamma -1 & \delta_{\mathrm{g}} & \gamma -1 & -\gamma & 0 & \gamma \\ 0&\gamma -1 & \delta_{\mathrm{g}} & 0 &-\gamma & 0 \\ 0 & -\gamma &0 & \delta_{\mathrm{m}} & -\gamma & 0 \\ \gamma& 0 & -\gamma & -\gamma & \delta_{\mathrm{m}} &-\gamma \\ 0 & \gamma & 0& 0 & -\gamma & \delta_{\mathrm{m}} \end{matrix} \right ] \left \{ \begin{matrix} g_1\\ g_2\\ g_3\\ x_4\\ x_5\\ x_6\end{matrix} \right \} = \left \{ \begin{matrix} 1\\ 0 \\ 0 \\ 0\\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right \}\end{array}\tag{2-4-68}$$

式中：

$$ \left.\begin{array}{l} \delta_{g}=2(1+\gamma+\beta)\\ \delta_{m}=2(\gamma+3\beta^{'}) \\ \beta^{'}=(\dfrac{b_1}{2d_1})^2\cdot \beta \end{array}\right\}\tag{2-4-69} $$

γ为扭转位移与主梁挠度之比，即

$$ \gamma =\dfrac{\varphi \dfrac{b_1}{2}}{\omega } =\dfrac{\pi^2EI}{4GI_{\mathrm{T}}}\left ( \dfrac{b_1}{l} \right )^2 =5.8\dfrac{I}{I_{\mathrm{T}}}\left ( \dfrac{b_1}{l} \right )^2 \tag{2-4-70}$$

β为悬臂板挠度与主梁挠度之比，即

$$\beta=\dfrac{f}{\omega }=\dfrac{\dfrac{4d^3}{12EI_1} }{l^4}=\dfrac{\pi^4}{3}\cdot\dfrac{Id_1^3}{i_{1}l^{4}}\approx 390\dfrac{Id_{1}^{3}}{l^{4}h_1^{3}} \tag{2-4-71}$$

式中：	I	——	主梁抗弯惯性矩；
	IT	——	主梁抗扭惯性矩；
	I1	——	单位板宽（顺桥向）的抗弯惯性矩；
	b1	——	主梁翼板全宽；
	d1	——	相邻两主梁梁肋的净距之半；
	h1	——	计算单位板宽抗弯惯性矩时所取的板厚，如果板厚从梁肋至悬臂端按直线变化时，可取靠梁肋${\displaystyle \frac{1}{3}}{d}_1$处的厚度（图2-4-37）；
	E、G	——	混凝土的弹性模量、剪切模量。

图2-4-37

只要求出参数γ、β，代入公式中就可以求出剪力g₁、g₂、g₃ 和x₄、x₅、x₆，利用$m_4={\displaystyle \frac{b_1}{2}}{x}_4、m_5={\displaystyle \frac{b_1}{2}}{x}_5、m_6={\displaystyle \frac{b_1}{2}}{x}_6、$就可以求出弯矩。

g₁、g₂、g₃，

$$ \left.\begin{array}{l} \eta_{11}=1-g_1 \\ \eta_{21}=g_1-g_2 \\ \eta_{31}=g_2-g_3 \\ \eta_{41}=g_3 \end{array}\right\}\tag{2-4-72} $$

式中η_ki的下标k为欲求影响线的梁号，i为荷载作用位置的梁号。

在实用计算中，已经按参数γ和β编制了荷载横向分布影响线的计算用表（可查《公路桥涵设计手册——梁桥（上）》之“刚接板、梁桥荷载横向分布影响线表”），只要求出γ和β就可以查表计算。

（2）计算步骤

①求主梁截面竖向抗弯惯性矩I
②求主梁截面抗扭惯性矩I_T；
③求内横隔梁截面和等刚度桥面板的抗弯惯性矩I₁；
④求主梁的抗弯与抗扭刚度比例参数γ和主梁与桥面板抗弯刚度比例参数 β
⑤根据γ和β从荷载横向分布影响线的计算用表中查出并绘制各主梁的跨中荷载横向分布影响线η;
⑥在影响线上沿桥宽排列最不利车辆荷载，从而算出跨中荷载横向分布系数m_c。

五、比拟正交异性板法（G—M法）

1、计算原理

[A2-4.54] 对于由主梁、连续的桥面板和多横隔梁所组成的梁桥，当其宽度与其跨径之比值较大时，可将其简化比拟为一块矩形的平板作为弹性薄板，按古典弹性理论来进行分析，即所谓“比拟正交异性板法”或称“G-M法”。

[A2-4.55] 图2-4-38a）表示具有多根纵向主梁和横向横隔梁的梁桥，纵向主梁的中心距离为b，每片主梁的截面抗弯惯性矩和抗扭惯性矩分别为I_x和I_Tx ，横隔梁的中心距离为a，其截面抗弯惯性矩和抗扭惯性矩为I_y和I_Ty。将其比拟成如图2-4-38b）所示的弹性薄板，比拟板在纵向和横向每米宽度的截面抗弯惯性矩和抗扭惯性矩为：

$$ \left.\begin{array}{l} J_{x}=\dfrac{I_{x}}{b}和 J_{Tx}=\dfrac{I_{Tx}}{b}\\ J_{Y}=\dfrac{I_{Y}}{b}和 J_{TY}=\dfrac{I_{TY}}{b} \end{array}\right\}\tag{2-4-73} $$

图2-4-38 实际结构换算成比拟板的图式

[A2-4.56] 对于钢筋混凝土或预应力混凝土肋梁式结构，为了简化理论分析，可近似地忽略混凝土泊松比v的影响。这样便得到一块在x和y两个正交方向截面单宽刚度为EJ_x、GJ_Tx和EJ_Y、EJ_Ty的比拟正交异性板。比拟正交(构造)异性板的挠曲微分方程：

$$EJ_X\dfrac{\partial ^4\omega }{\partial x^4}+G(J_{\mathrm {Tx}}+J_{\mathrm {Ty}})\dfrac{\partial ^4\omega }{\partial x^2 \partial y^2} +EJ_\mathrm {y}\dfrac{\partial ^4\omega }{\partial y^4}=p(x,y)\tag{2-4-74}$$

上式可改写成如下形式：

$$EJ_X\dfrac{\partial ^4\omega }{\partial x^4}+2aE\sqrt{J_{\mathrm{x}}J_{\mathrm{y}}}dfrac{\partial ^4\omega }{\partial x^2 \partial y^2} +EJ_\mathrm {y}\dfrac{\partial ^4\omega }{\partial y^4}=p(x,y)\tag{2-4-75}$$

其中

$$a=\dfrac{G (J_{\mathrm {Tx}}+J_{\mathrm {Ty}})}{2E\sqrt{J_{\mathrm{x}}J_{\mathrm{y}}}}\tag{2-4-76}$$

a称为扭弯参数，表示比拟板两个方向的单宽抗扭刚度代数平均值与单宽抗弯刚度几何平均值之比。对于常用的T梁或I形梁，a一般在0～1之间变化。上式是一个四阶非齐次的偏微分方程，解得荷载作用下任意点的挠度值ω后，就可得到相应的内力值。

为了求荷载横向分布，设一个代表多主梁梁桥的两端简支、两边自由的正交异性板在y=y₁处承受一个单位正弦荷载 $$p(x,y)=1\cdot \sin {\displaystyle \frac{\pi x}{l}}$$（图2-4-38）。在正弦荷载作用下，其沿桥跨方向（x）的挠曲线，和简支梁一样，也是正弦曲线$$\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{l}}$$。但在沿桥宽方向(y )的挠曲线则随板的结构特性和荷载在桥宽上的位置而不同，设以Y(y )表示。因此，板的挠度ω(x,y )可以写成如下的形式：

$$\omega (x,y)=\sin\dfrac{\pi x^2}{l}Y(y)$$

把上列的ω(x,y)引入微分方程式（2-4-75），注意除在y=y₁有单位正弦荷载外，在其左边（－B＜Y ＜y₁）和右边（y₁＜ y＜B）的板区①和②内荷载都等于零，因此，得到这两个板区关于y(y)的常微分方程如下：

$$ \dfrac{d^{4}Y}{d_{y}^{-4}}-2\pi^{2}\theta^{2}\dfrac{d^{2}Y}{d_{y}^{2}}+\pi ^{4}\theta ^{4}Y=0\tag{2-4-77}$$

其中

$$ \theta =\dfrac{B}{l}\sqrt[4]{{\dfrac{J_{\mathrm{x}}}{J_{\mathrm{Y}}}}} \qquad ,\bar{y}=\dfrac{y}{b} \tag{2-4-78}$$

θ参数表示桥的纵横方向抗弯刚度的比例。式（2-4-77）是Y(y)的四阶微分方程，利用板区①和②的边界条件就可以确定板在跨中央沿板宽的挠曲线Y(y)。

从以上方程及其求解可见，Y(y)是和两个结构参数aθ及荷载位置y₁关的。Y(y)已知后，挠度ω(x,y)就可以得到，于是荷载横向分布问题就可以迎刃而解了。

图2-4-39 比拟正交各向异性板的受力与变位

2、用“G-M法”曲线图表计算荷载横向分布系数

[A2-4.57] 在具体设计中如果直接利用弹性挠曲面方程求解简支梁的各点内力值，将是繁复而费时的。Guyon和Massonnet已根据理论分析编制了“G-M法”曲线图表。下面介绍应用“G-M法”计算图表的计算步骤。

（1）计算几何特性
①求主梁、横隔梁的抗弯惯性矩I_x、I_y及比拟单宽抗弯惯性矩J_x、J_y。

对于主梁的抗弯惯性矩I_x，就按翼板宽为b的T形截面用一般方法计算。

对于横隔梁的抗弯惯性矩I_y，由于肋的间距较大，受弯时翼板宽度为的T梁不再符合平截面假设，即翼板内的压应力沿宽度a的分布是很不均匀的，如图2-4-40所示。为了较精确地考虑这一因素，通常就引入所谓受压翼板有效宽度的概念。每侧翼板有效宽度值就相当于把实际应力图形换算成以最大应力σ_max为基准的矩形图形的长度λ。根据理论分析结果，λ值可按cl之比值由表2-4-5计算，其中为横梁的长度l，可取两根边主梁的中心距计算。

知道γ值后，就可按翼板宽度为（2γ+δ）的T形截面来计算I_y。

图2-4-40 沿桥横向翼板内的应力分布
（注：此处a为横隔梁间距，与桥面板计算时的有效分布宽度a不同）

表2-4-5 系数λ

c/l	0.05	0.10	0.15	0.20	0.25	0.30	0.35	0.40	0.45	0.50
λ/c	0.983	0.936	0.867	0.789	0.710	0.635	0.568	0.509	0.459	0.416

②求主梁、横隔梁的抗扭惯性矩和I^'_Tx和I^'_Ty。

纵向和横向单宽惯性矩J_Tx和J_Ty，可分成梁肋和翼板两部分来计算。梁肋部分的抗扭惯性矩按前面式（2-4-54）和表2-4-3来计算。

对于翼板部分，应分清图2-4-41 所示的两种情况。

图2-4-41 翼板抗扭惯性矩计算图式

图2-4-41a） 表示独立的宽扁矩形截面（b比h大得多），按一般公式可知其抗扭惯性矩为：

$$J_{\mathrm{T}}^{{}^{″}}={\displaystyle \frac{I_{\mathrm{T}}^{{}^{″}}}{b}}={\displaystyle \frac{1}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}{b}^3={\displaystyle \frac{h^3}{3}}$$

图2-4-41b） 所示连续的桥面板来说，情况就不同。根据弹性薄板的分析，则有：

$$J_{\mathrm{T}}={\displaystyle \frac{h^3}{6}}$$

由此可见，连续桥面板的单宽抗扭惯性矩只有独立宽变板者的一半。这一点可以这样来解释：独立板沿短边的剪力τ_xz也参与抗扭作用，而连续板的单宽部分则不出现此种剪应力（图2-4-41 ）。

这样，对于连续桥面板的整体式梁桥以及对于翼板刚性连接的装配式梁桥，在应用“G-M法”时，为计算抗弯参数所需的纵横向截面单宽抗扭惯性矩之和可由下式求得：

$$ J_{\mathrm{Tx}}+J_{\mathrm{Ty}}=\dfrac{1}{3}h^{3}+\dfrac{1}{b}I^{'}_{\mathrm{Tx}}+\dfrac{1}{a}I^{'}_{\mathrm{Ty}}\tag{2-4-79}$$

式中h为桥面板的厚度，J_Tx^'和J_Ty^'分别表示主梁肋和内横梁肋的截面抗扭惯性矩。

（2）按式（2-4-78）和式（2-4-76）计算θ和a
（3）计算各主梁横向影响线坐标

①用已求得的值从G-M法计算图表上查影响系数K₁和K₀值；
在系数K₁和K₀值的图表中是将桥的全宽分为八等分共九个点的位置来计算的，以桥宽中间点为0，向左（或向右）依次为正的${\displaystyle \frac{1}{4}}B、{\displaystyle \frac{1}{2}}B、{\displaystyle \frac{3}{4}}B、B$（或负的$-{\displaystyle \frac{1}{4}}B、-{\displaystyle \frac{1}{2}}B、-{\displaystyle \frac{3}{4}}B、-B$）（如图2-4-42 所示）。如果需求的主梁位置不是正好在这九个点上，例如欲求图2-4-42 中①号梁（梁位$f=\xi B$）处的K值时，则要根据相邻两个点的K<>_Bi和$K_{\frac{3}{4}\mathrm{B}\mathrm{i}}$值（由图表查得）进行内插，最后求得的K_ξBi如图2-4-42 中虚线所示。

②用内插法求实际梁位处的K₁^'和K₀^'值；
③用a值和公式$K_a=K_0^{{}^{\prime }}+(K_1^{{}^{\prime }}-K_0^{{}^{\prime }})\sqrt{a}$求K_a值；
④用主梁数n除K_a即得影响线坐标η_ki。

（4）计算各主梁的横向分布系数
在影响线上按横向最不利位置布置荷载，从而算出跨中荷载横向分布系数m_c。

图图2-4-42 梁位f=ξB的K 值计算

[A2-4.58]【例2-4-6】 一座五梁式装配式钢筋混凝土简支梁桥的主梁和横隔梁截面如图2-4-43a） 和图2-4-43b） 所示，计算跨径l=19.50 m，主梁翼板刚性连接。试按比拟正交异性板法求各主梁对于汽车荷载和人群荷载的横向分布系数。

图2-4-43 计算举例的主梁和横隔梁简图（尺寸单位：mm）

【解】

1.计算几何特性
（1）主梁抗弯惯性矩

$$\begin{array}{l} I&=&\dfrac{1}{12}\times(1600-180)\times100^3+(1600-180)\times 110\times(412-\dfrac{110}{2})^2\\ & &+\dfrac{1}{12}\times 18\times 1300^3+180\times 1300\times (\dfrac{1300}{2}-412)^2\\ &=& 1.575\times10^8+1.991\times 10^{10}+3.296\times\times 10^{10}+1.325\times\times 10^{10}=6.628 \times 10^{10}(\mathrm{mm^4}) \end{array}$$

主梁的比拟单宽抗弯惯性矩：

$$J_{\mathrm{x}}=\dfrac{I_{\mathrm{x}}}{b}=\dfrac{6.628 \times 10^{10}}{1600}=4.142 \times 10^{7}(\mathrm{mm^4/mm})$$

（2）横隔梁抗弯惯性矩
每根中横隔梁的尺寸如图2-4-44 所示。

图2-4-44 横隔梁截面图（尺寸单位：mm）

按表2-4-5确定翼板的有效作用宽度γ。
横隔梁的长度取为两根边主梁的轴线距离，即：

$$l^{'}=4\times b=4\times 1600=6400(\mathrm{mm})$$ $$c/l^{'}=\dfrac{2350}{6400}=0.367$$

查表2-4-5得：λ/c=0.548

$$\therefore \lambda =0.548\times 2350=1290(\mathrm{m}\mathrm{m})$$

求横隔梁截面重心位置a_y：

$$ a_{\mathrm{y}}=\dfrac{2\times 1290 \times 110\times \dfrac{110}{2}+150\times 1000 \times \dfrac{1000}{2}}{2\times 1280 \times 110+150 \times 1000}=210(\mathrm{mm})$$

故横隔梁抗弯惯性矩为：

$$\begin{array}{l} I_{\mathrm{y}}&=&\dfrac{1}{12}\times1280\times110^3\times 2+1280\times 110\times(210-\dfrac{110}{2})^{2}\times 2\\ & &+\dfrac{1}{12}\times 150\times 1000^{3}+150\times 1000\times(\dfrac{1000}{2}-210)^2\\ &=& 3.127\times 10^{10}(\mathrm{mm^4}) \end{array}$$

横隔梁比拟单宽抗弯惯性矩为：

$$J_{\mathrm{y}}=\dfrac{I_{\mathrm{y}}}{a}=\dfrac{3.217\times 10^{10}}{4850}=6.632 \times 10^{6}(\mathrm{mm^{4}/mm})$$

（3）主梁和横隔梁的抗扭惯性矩

对于T梁翼板刚性连接的情况，应由式（2-4-54）来计算抗扭惯性矩。

对于主梁梁肋：

主梁翼板的平均厚度$h_1={\displaystyle \frac{80+140}{2}}=110(\mathrm{m}\mathrm{m})$

$t/b={\displaystyle \frac{180}{1300-110}}=0.151$,由表2-4-3查得c=0.301

则 $I_{\mathrm{T}\mathrm{x}}^{{}^{\prime }}=cb{t}^3=0.301\times (1300-110)\times {180}^3=2.089\times {10}^9({\mathrm{m}\mathrm{m}}^4)$

对于横隔梁梁肋：$t/b={\displaystyle \frac{150}{1000-110}}=0.169$,查表得c=0.298

则 $I_{\mathrm{T}\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}=0.298\times (1000-110)\times {150}^3=8.951\times {10}^8({\mathrm{m}\mathrm{m}}^4)$

$$ \begin{array}{l} \therefore J_{\mathrm{Tx}}+J_{\mathrm{Ty}}&=\dfrac{1}{3}h_{1}^{3}+\dfrac{1}{b}I_{\mathrm{Tx}}^{'}+\dfrac{1}{a}I_{\mathrm{Ty}}^{'}\\ &=\dfrac{1}{3}\times 110^{3}+\dfrac{2.089\times 10^{9}}{1600}+\dfrac{8.951\times 10^{8}}{4580}\\ &=1.934\times 10^{6}(\mathrm{mm^{4}/mm}) \end{array} $$

2. 计算参数θ和a

$$\theta =\dfrac{B}{l}\sqrt[4]{\dfrac{J_{\mathrm{x}}}{J_{\mathrm{y}}}}=\dfrac{4000}{19500}\sqrt[4]{\dfrac{4.142 \times 10^{7}}{6.632 \times 10 ^{6}}}=0.324$$

式中B为桥梁承重结构的半宽，即$B={\displaystyle \frac{5\times 1600}{2}}=4000(\mathrm{m}\mathrm{m})$

$$a=\dfrac{G(J_{\mathrm{Tx}}+J_{\mathrm{Ty}})}{2E\sqrt{J_{\mathrm{x}}\cdot J_{\mathrm{y}}}}=\dfrac{0.4E\times 1.934 \times 10 ^{6}}{2E \sqrt{4.142 \cdot 10^{7} \times 6.632 \times 10^{6}}}=0.02334$$

则$\sqrt{a}=\sqrt{0.02334}=0.1528$

3.计算各主梁横向影响线坐标
由θ=0.324，查附录Ⅲ—2“G-M法”K₁和K₀值计算用表，得到表2-4-6。

表2-4-6 比拟板梁位处K₁和K₀值

系数	梁位	荷 载 位 置									校核*
		B	3/4B	B/2	B/4	0	-B/4	-B/2	-3/4B	-B
K1	0	0.94	0.97	1.00	1.03	1.05	1.03	1.00	0.97	0.94	7.99
	B/4	1.05	1.06	1.07	1.07	1.02	0.97	0.93	0.87	0.83	7.93
	B/2	1.22	1.18	1.14	1.07	1.00	0.93	0.87	0.80	0.75	7.98
	3/4B	1.41	1.31	1.20	1.07	0.97	0.87	0.79	0.72	0.67	7.97
	B	1.65	1.42	1.24	1.07	0.93	0.84	0.74	0.68	0.60	8.04
K0	0	0.83	0.91	0.99	1.08	1.13	1.08	0.99	0.91	0.83	7.92
	B/4	1.66	1.51	1.35	1.23	1.06	0.88	0.63	0.39	0.18	7.97
	B/2	2.46	2.10	1.73	1.38	0.98	0.64	0.23	-0.17	-0.55	7.85
	3/4B	3.32	2.73	2.10	1.51	0.94	0.40	-0.16	-0.62	-1.13	8.00
	B	4.10	3.40	2.44	1.64	0.83	0.18	-0.54	-1.14	-1.77	7.98

注：“校核*”栏按公式$={\displaystyle \sum _{i=2}^8{K}_{\mathrm{i}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(K_1+K_9)=8}$进行

用内插法求实际梁位处的K₁和K₀值，实际梁位与表列梁位的关系见图2-4-45 。

图2-4-45 梁位关系图（尺寸单位：mm）

对于①号梁：

$$K^{'}=K_{\frac{3}{4}\mathrm{B}}+( K_{\mathrm{B}}-K_{\frac{3}{4}\mathrm{B}})times \dfrac{20}{100}=0.2 K_{\mathrm{B}}+0.8 K_{\frac{3}{4}\mathrm{B}}$$

对于②号梁：

$$K^{'}=K_{\frac{1}{4}\mathrm{B}}+( K_{\frac{1}{2}\mathrm{B}}- K_{\frac{1}{4}\mathrm{B}})\times \dfrac{60}{100}=0.6 K_{\frac{1}{2}\mathrm{B}}+0.4 K_{\frac{1}{4}\mathrm{B}}$$

对于③号梁：

$$k^{'}=k_{0}(这里 K_{0}是指表列梁位在0点的K值)$$

现将①、②和③号梁的横向影响线坐标值列表计算见表2-4-7。

表2-4-7 ①、②、③号梁的横向影响线坐标值

梁 号	算 式	荷 载 位 置
		B	3/4B	B/2	B/4	0	-B/4	-B/2	-3/4B	-B
1	$K_1\text{'}=0.2·\; <!--\; middle\; dot\; -->K_{1B}+0.8K_{1\frac{3}{4}B}$	1.458	1.332	1.208	1.070	0.962	0.864	0.780	0.712	0.656
	$K_0\text{'}=0.2·\; <!--\; middle\; dot\; -->K_{0B}+0.8K_{0\frac{3}{4}B}$	3.476	2.864	2.168	1.536	0.918	0.356	-0.236	-0.724	-1.258
	$K_1\text{'}-K_0\text{'}$	-2.018	-1.532	-0.960	-0.466	0.044	0.508	1.016	1.436	1.914
	$(K_1\text{'}-K_0\text{'})\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\sqrt{a}$	-0.318	-0.242	-0.152	-0.074	0.007	0.080	0.161	0.227	0.302
	$K_a=K_0\text{'}+(K_1\text{'}-K_0\text{'})\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\sqrt{a}$	3.158	2.622	2.016	1.462	0.925	0.436	-0.075	-0.497	-0.956
	${\mathrm{\eta \; <!--\; greek\; small\; letter\; eta\; -->}}_{1i}=K_a/5$	0.632	0.524	0.403	0.292	0.185	0.087	-0.015	-0.099	-0.191
2	$K_1\text{'}=0.6K_{1\frac{1}{2}B}+0.4K_{1\frac{3}{4}B}$	1.152	1.132	1.112	1.070	1.008	0.946	0.894	0.828	0.782
	$K_0\text{'}=0.6K_{0\frac{1}{2}B}+0.4K_{0\frac{1}{4}B}$	2.140	1.864	1.578	1.320	1.012	0.736	0.390	0.054	-0.258
	$K_1\text{'}-K_0\text{'}$	-0.988	-0.732	-0.466	-0.250	-0.004	0.210	0.504	0.774	1.040
	$(K_1\text{'}-K_0\text{'})\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\sqrt{a}$	-0.156	-0.115	-0.074	-0.040	-0.001	0.033	0.080	0.122	0.164
	$K_a=K_0\text{'}+(K_1\text{'}-K_0\text{'})\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\sqrt{a}$	1.984	1.749	1.504	1.280	1.011	0.769	0.470	0.176	-0.094
	${\mathrm{\eta \; <!--\; greek\; small\; letter\; eta\; -->}}_{2i}=K_a/5$	0.397	0.350	0.301	0.256	0.202	0.154	0.094	0.035	-0.019
3	$K_1\text{'}=K_{10}$	0.940	0.970	1.000	1.030	1.050	1.030	1.000	0.970	0.940
	$K_0\text{'}=K_{00}$	0.830	0.910	0.990	1.080	1.130	1.080	1.990	0.910	0.830
	$K_1\text{'}-K_0\text{'}$	0.110	0.060	0.010	-0.050	-0.080	-0.050	0.010	0.060	0.110
	$(K_1\text{'}-K_0\text{'})\times \; <!--\; multiplication\; sign\; -->\sqrt{a}$	0.847	0.920	0.992	1.072	1.117	1.072	0.992	0.920	0.847
	${\mathrm{\eta \; <!--\; greek\; small\; letter\; eta\; -->}}_{2i}=K_a/5$	0.170	0.184	0.198	0.214	0.223	0.214	0.198	0.184	0.170

在影响线上按横向最不利位置布载，就可按相对应的影响线坐标值求得主梁的荷载横向分布系数：

对于①号梁：

$汽车荷载m_{\mathrm{c}\mathrm{q}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sum \eta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times (0.524+0.313+0.177-0.005)=0.505$

$汽车荷载m_{\mathrm{c}\mathrm{t}}={\eta }_r=0.602$

对于②号梁：

$汽车荷载m_{\mathrm{c}\mathrm{q}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sum \eta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times (0.350+0.266+0.200+0.095)=0.456$

$汽车荷载m_{\mathrm{c}\mathrm{t}}={\eta }_r=0.391$

对于③号梁：

$汽车荷载m_{\mathrm{c}\mathrm{q}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\sum \eta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times (0.184+0.212+0.222+0.200)=0.409$

$汽车荷载m_{\mathrm{c}\mathrm{t}}={\eta }_r=0.342$

图2-4-46 荷载横向分布系数的计算（尺寸单位：mm）

六、荷载横向分布系数沿桥跨的变化

[A2-4.59] 当用“杠杆原理法”确定出位于支点处的荷载横向分布系数m₀和用其他方法确定出位于跨中的荷载横向分布系数m_c以后，便可用图2-4-47 所示的近似处理方法来确定其他位置的荷载横向分布系数m_x。

[A2-4.60] 对于中间无横隔梁或仅有一根横隔梁的情况，跨中部分须用不变的m_c，从离支点l/4处起至支点的区段内m_x呈直线形过渡至m₀[图2-4-47a） ]；对于有多根内横隔梁的情况，m_c从第一根内横隔梁起向支点m₀直线形过渡[图2-4-47b） ]。

图2-4-47 荷载横向分布系数沿跨长的变化

[A2-4.61] 这样，对于主梁上计算截面的纵向位置不同，就应有不同的横向分布系数。

[A2-4.62] 在实际应用中，当求简支梁跨中最大弯矩时，为了简化起见，通常均可按不变化的m_c来计算。只有在计算主梁梁端截面的最大剪力时，才考虑荷载横向分布系数变化的影响[图2-4-47a） ]。对于跨内其他截面的主梁剪力时，也可视具体情况计及m沿桥跨变化的影响。

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