第四节 主梁内力计算

第四节 主梁内力计算

[A2-4.63] 对于跨径在10 m以内的简支梁，通常只需计算跨中截面的最大弯矩、剪力和支点截面的剪力；跨中与支点之间各截面的剪力可以近似地按直线规律变化，弯矩可假设按二次抛物线规律变化。对于较大跨径的简支梁，一般还应计算四分之一跨径截面的弯矩和剪力。如果主梁沿桥轴方向截面有变化，例如梁肋宽度或梁高变化，则还应计算变化处截面的内力。有了截面内力，就可按钢筋混凝土和预应力混凝土的计算原理进行主梁各截面的配筋设计和验算。本节重点介绍简支梁桥主梁的最不利内力计算。

一、永久作用内力计算

[A2-4.64] 混凝土桥梁的永久作用，往往占全部设计荷载很大的比重（通常占60%～90%），梁的跨径越大，永久作用所占的比重也越大。在计算永久作用内力时，为了简化起见，往往将横梁、铺装层、人行道和栏杆等重量均匀分摊给各主梁承受。因此，对于等截面梁桥的主梁，永久作用可按简单的均布荷载进行计算。为了更精确起见，也可根据施工安装的情况，分阶段，按荷载横向分布的规律进行分配计算。

[A2-4.65] 如图2-4-48 所示，计算出永久作用值g之后，则梁内各截面的弯矩M和剪力V计算公式为

$$\dfrac{gl}{2}\cdot x -gx \cdot\dfrac{x}{2}=\dfrac{gx}{2}(l-x)\tag{2-4-80}$$

$$V_{\mathrm{x}}=\dfrac{gl}{2}-gx=\dfrac{g}{2}(l-2x)\tag{2-4-81}$$

式中：	l	——	简支梁的计算跨径；
	x	——	计算截面到支点的距离。

图2-4-48 永久作用内力计算图式

[A2-4.66]【例2-4-7】 一座五梁式装配式预应力混凝土简支梁桥的主梁和横隔梁截面如图2-4-49 所示，计算跨径l=24.2 m，主梁间距2.2 m。已知每侧栏杆及人行道构件重量的作用力为5.5 kN/m。求主梁的永久作用内力。

图2-4-49 预应力混凝土简支T梁构造（尺寸单位：mm）

【解】

（1）永久作用集度（见表2-4-8）。

跨中处边梁截面面积为0.6205 ㎡，中梁截面面积为0.5824 ㎡。中间横隔梁体积为0.300 m³，端横隔梁体积为0.252 m³。

表2-4-8 永久作用集度计算表(kN/m)

一期 恒载	主梁自重	边主梁	g1边=0.6205×25=15.513
		中主梁	g1中=0.5824×25=14.560
	横隔梁折 算荷载	边主梁	g'1边=[(0.30×4)+(0.252×2)]×25×0.5/24.96=0.853
		中主梁	g'1中=[(0.30×4)+(0.252×2)]×25/24.96=1.706
	马蹄加高，梁端加宽 增加的重量折算荷载		g'1中=2.885
二期 恒载	现浇桥面 板湿接缝	边主梁	g2边=0.3×0.15×25=1.125
		中主梁	g2中=0.6×0.15×25=2.250
三期 恒载	桥面铺装层		g'3=(0.08×23+$\frac{0.068}{2}$×25)×9/5=4.842
	栏杆和人行道		g'3=5.5×2/5=2.200
合计	边主梁		g边=(15.513+0.853+2.885+2.250+4.842+2.200)=27.418
	中主梁		g中=(14.560+1.706+2.885+2.250+4.842+2.200)=28.443

（2）永久作用内力计算（见表2-4-9）。

表2-4-9 主梁永久作用内力

截面位置x	内力
	边主梁		中主梁
	弯矩M(kNm)	剪力V(kN)	弯矩M(kNm)	剪力V(kN)
x=0(支点)	0	331.76	0	344.16
x=l/4	1505.35	165.88	1561.63	172.08
x=l/2(跨中)	2006.92	0	2087.17	0

二、可变作用内力计算

[A2-4.67] 公路桥梁的可变作用计算包括汽车荷载、人群荷载等几部分，可变作用内力计算采用直接布载的方法计算。
汽车荷载一般计算公式为

$$S_{\mathrm{q}}=(1+\mu)\cdot \xi\cdot (m_1 P_{\mathrm{k}}y_{\mathrm{k}}+m_2 q_{\mathrm{k}}\Omega )\tag{2-4-82}$$

式中：	Sq	——	所求截面汽车荷载产生的弯矩或剪力；
	1+μ	——	汽车荷载冲击系数，按规范规定取值；
	ζ	——	汽车荷载横向折减系数，见表3-10；
	m1	——	沿桥跨纵向与车道集中荷载位置对应的横向分布系数；
	m2	——	沿桥跨纵向与车道均布荷载Pk所布置的影响线面积中心位置对应的横向分布系数；
	Pk	——	车道集中荷载；
	qk	——	车道均布荷载；
	yk	——	沿桥跨纵向与Pk位置对应的内力影响线最大坐标值；
	Ω	——	弯矩、剪力影响线面积。

人群荷载计算一般为

$$S_{\mathrm{r}}=m_{\mathrm{r}}q_{\mathrm{r}}\Omega\tag{2-4-83}$$

式中：	Sr	——	所求截面人群荷载产生的弯矩或剪力；
	mr	——	沿桥跨纵向与人群荷载qr所布置的影响线面积中心位置对应的横向分布系数；
	qr	——	人群荷载；

《通规》（JTG D60—2015）规定：当桥梁计算跨径大于150 m时，按上式计算的内力值尚应乘以纵向折减系数，见表1-3-6。

当计算简支梁各截面最大弯矩和跨中最大剪力时，如前所述可以采用跨中横向分布系数m_c。

对于支点截面的剪力或靠近支点截面的剪力，尚需计入由于荷载横向分布系数在梁端区段内发生变化的影响[图2-4-47a）]，以支点截面为例，其计算公式为：

$$汽车荷载：V_{\mathrm{A}}=(1+mu )\cdot \xi\cdot m_{\mathrm{c}}(1.2\cdot P_{\mathrm{k}}y_{\mathrm{k}}+q_{\mathrm{k}}\Omega)+\Delta V_{\mathrm{A}}\tag{2-4-84}$$ $$人群荷载:V_{\mathrm{A}}=m_{\mathrm{r}}q_{\mathrm{r}}\Omega+\Delta V_{\mathrm{Ar}}\tag{2-4-85}$$

式中：ΔV_A——计及靠近支点处横向分布系数变化而引起的内力增（或减）值。
ΔV_A的计算如下：
对于车道荷载（图2-4-50）：

$$\Delta V_{\mathrm{A}}=(1+\mu)\cdot \xi \cdot \left [ \dfrac{a}{2}(m_0-m_{\mathrm{c}})\cdot q_{\mathrm{k}}\cdot \bar{y}+ (m_0-m_{\mathrm{c}})\cdot 1.2\cdot P_{\mathrm{k}} y_{\mathrm{k}} \right ] \tag{2-4-86}$$

对于人群荷载：

$$\Delta V_{\mathrm{Ar}}= \dfrac{a}{2}(m_0-m_{\mathrm{c}})\cdot q_{\mathrm{r}}\cdot \bar{y}\tag{2-4-87}$$

图2-4-50 可变作用支点剪力计算图

三、主梁作用组合和包络图

[A2-4.68] 结构在永久作用下的反力和内力是不变的，但在可变作用下，结构的反力和内力都将随着荷载位置的移动而变化。为了求出反力及内力的最大值，就必须研究可变作用移动时反力和内力的变化规律，这就引入了影响线的概念。当单位竖向荷载P=1沿结构移动时，表示某一截面i上的M、V或N变化规律的图形，称为该截面的M_i、V_i或N_i影响线。利用影响线来确定最不利可变作用位置，从而求出该截面在可变作用下的M_i,max（M_i,min）、V_i,max（V_i,min）或N_i,max（N_i,min）。在结构设计时，通常需要求出在永久作用和可变作用共同作用下，各截面的最大（最小）内力数值，以作为设计或验算的依据。求出各截面在永久作用下的内力值和可变作用下的M_max（M_min）、V_max（V_min）或N_max（N_min），并按现行《通规》（JTG D60）规定进行荷载组合，联结各截面的最大（最小）内力组合值的图形称为内力包络图（图2-4-51）。一个内力包络图仅反映一个量值（M、V或N）在一种荷载组合情况下结构各截面的最大（最小）内力值，若有n个需要计算的量值、m种荷载组合，就有m×n个内力包络图。在结构设计中，按所需验算的截面，依据内力包络图得到该截面相应的量值，根据现行《混规》（JTG 3362）规定进行相应的验算。

[A2-4.69] 对于小跨径的简单结构，所需计算的截面较少，也可不绘制内力包络图，直接利用荷载组合值进行结构验算。但对于大跨径或较复杂的结构，利用内力包络图进行计算明确而方便，这部分内容是桥梁设计的重点，也是学生不太容易掌握的部分。有关影响线和内力包络图的知识，可参看结构力学的相关内容；有关荷载组合的知识，可参看第三章的相关内容，这里不再详述

图2-4-51 内力包络图

[A2-4.70]【例2-4-8】 已知【例2-4-7】的汽车荷载为公路—Ⅰ级（均布荷载q_k=10.5 kN/m，集中荷载P_k：计算弯矩效应时P_k=238 kN；计算剪力效应时P_k=1.2×238 kN=285.6 kN），冲击系数（1＋μ）=1.3，不计人群荷载。试求：

（1）计算②号梁的支点荷载横向分布系数m₀；

（2）计算②号梁的跨中荷载横向分布系数m_c；

（3）绘出②号梁的荷载横向分布系数m沿跨长的变化图；

（4）计算②号梁的跨中弯矩M_c。

【解】

（1）支点荷载横向分布系数m₀

用杠杆法计算②号梁在汽车荷载作用下的支点荷载横向分布系数m₀，绘制荷载横向分布影响线如图2-4-52b）所示。

$m_0={\displaystyle \frac{1}{2}}\sum \eta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times (0.812+1.000+0.409=0.796)$

（2）跨中荷载横向分布系数m_c

此桥在跨内设有横隔梁，具有强大的横向连接刚性，且承重结构的长宽比为：

$${\displaystyle \frac{l}{B}}={\displaystyle \frac{24.2}{5\times 2.2}}=2.2>2$$

故可按偏心压力法来计算②号梁的跨中荷载横向分布系数m_c。首先求出荷载横向分布影响线竖标值并绘制横向影响线，然后在横向影响线上根据设计车道数进行最不利加载，最终求出。

由于各根主梁横截面均相等，n=5，主梁间距为2.2 m，则

${\displaystyle \sum _{i=1}^5{a}_{\mathrm{i}}^2=(2\times 2.2{)}^2+{2.2}^2+0+(-2.2{)}^2+[2\times (-2.2){]}^2=48.4({\mathrm{m}}^2)}$

${\eta }_{21}={\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{a_2{a}_1}{{\displaystyle \sum a_{\mathrm{i}}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{2.2\times (2\times 2.2)}{48.4}}=0.400$

${\eta }_{25}={\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{a_2{a}_1}{{\displaystyle \sum a_{\mathrm{i}}^2}}}={\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{2.2\times [2\times (-2.2)]}{48.4}}=0$

用η₂₁和η₂₅绘制②号梁的横向影响线，并在影响线上进行最不利布载[图2-4-52c）]。

$\begin{array}{ll}荷载横向分布系数：m_{\mathrm{c}}& ={\displaystyle \frac{1}{2}}\sum \eta \\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\times (0.382+0.300++0.241+0.159)=0.541\end{array}$

图2-4-52 ②号梁荷载横向分布系数计算图式（尺寸单位：mm）

（3）横向分布系数m沿跨长的变化

②号主梁的荷载横向分布系数m沿跨长的变化图，如图2-4-53b）所示。

图2-4-53 跨中弯矩计算图式（尺寸单位：mm）

（4）②号梁的跨中弯矩M_c

计算②号主梁的跨中弯矩:M_c的计算图式如图2-4-53c）所示。

${\mathrm{恒载弯矩标准值：M}}_{\mathrm{c}\mathrm{g}\mathrm{k}}=g\cdot \mathrm{\Omega }=28.443\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\times 24.2\times 6.05=2082.17(\mathrm{k}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m})$

${\mathrm{恒载弯矩标准值：\; M}}_{\mathrm{c}\mathrm{g}\mathrm{d}}={\gamma }_{{\mathrm{G}}_1}\cdot M_{\mathrm{c}\mathrm{g}\mathrm{K}}=1.2\times 2082.17=2498.604(\mathrm{k}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m})$

$\begin{array}{ll}{\mathrm{汽车荷载弯矩标准值：\; M}}_{\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{k}}& =\xi \cdot m_{\mathrm{c}}\cdot (q_{\mathrm{k}}\cdot \mathrm{\Omega }+P_{\mathrm{k}}\cdot y_{\mathrm{k}})\\ & =1.0\times 0.541\times (10.5\times {\displaystyle \frac{1}{2}}\times 24.2\times 6.05+238\times 6.05)\\ & =1194.83(\mathrm{k}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m})\end{array}$

${\mathrm{汽车荷载弯矩设计值：M}}_{\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{d}}={\gamma }_{Q_1}\cdot {\gamma }_{\mathrm{L}}\cdot M_{\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{k}}=1.4\times 1.0\times 1194.83=1672.762(\mathrm{k}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m})$

${\mathrm{汽车荷载弯矩频遇值：M}}_{\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{f}\mathrm{d}}={\psi }_{f1}\cdot M_{\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{k}}=0.7\times 1194.83=836.381(\mathrm{k}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m})$

${\mathrm{汽车荷载弯矩准永久值：M}}_{\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{d}}={\psi }_{q1}\cdot M_{\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{k}}=0.47\times 1194.83=477.932(\mathrm{k}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m})$

$\begin{array}{ll}{\mathrm{基本组合的弯矩设计值\; ：M}}_{\mathrm{c},\mathrm{u}\mathrm{d}}& ={\gamma }_0\cdot [(M_{\mathrm{c}\mathrm{g}\mathrm{d}}+(1+\mu )\cdot M_{\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{d}}]\\ & =1.1\times (2498.604+1.3\times 1672.762)=5140.514(\mathrm{k}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m})\end{array}$

$\begin{array}{ll}{\mathrm{频遇组合的弯矩设计值：M}}_{\mathrm{c},\mathrm{f}\mathrm{d}}& =M_{\mathrm{c}\mathrm{g}\mathrm{k}}+M_{\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{f}\mathrm{d}}\\ & =2082.17+836.381=2981.551(\mathrm{k}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m})\end{array}$

$\begin{array}{ll}{\mathrm{准永久组合的弯矩设计值：M}}_{\mathrm{c},\mathrm{q}\mathrm{d}}& =M_{\mathrm{c}\mathrm{g}\mathrm{k}}+M_{\mathrm{c}\mathrm{q}\mathrm{q}\mathrm{d}}\\ & =2082.17+477.932=2560.102(\mathrm{k}\mathrm{N}\cdot \mathrm{m})\end{array}$

\(\ \)